Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.3 - Ex. 23
(Requer Cálculo) O teorema fundamental do Cálculo implica que a integração e a derivação são ações que se cancelam mutuamente. Defina a transformação por e defina por
- Mostre que e são transformações lineares.
- Explique por que não é a transformação inversa de .
- Será possível restringir o domínio ou contradomínio de e de tal modo que sejam transformações lineares inversas.
Passo 1
Show de bolinhas então galera, na letra (a) precisamos mostrar que as transformações são lineares. Então para , seja uma transformação que associa cada função á sua derivada, isto é,
Pelas propriedades da derivação, temos
Assim, é uma transformação linear. E para , a transformação , dados qualquer constante e quaisquer funções e em , as propriedades da integração garantem que
Logo, também é um operador linear.
Passo 2
Na letra (b), por exemplo se é um polinômio de , então
Se for a inversa de , então , MAAASSS calculando
Ou seja, o termo se perdeu nesse processo, logo existem vetores no domínio de que não estão no contradomínio de , portanto não pode ser a inversa de .
Passo 3
Como o problema de ser a inversa de , é o termo independente do polinômio , se o nosso espaço for o espaço de todos os polinômios que NÃO possuem o termo independente, então sim, podemos restringir o domínio de para que seja igual ao contradomínio de e nesse caso, seria a inversa de .
Resposta
- Demonstração.
- Demonstração.
- Demonstração.