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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.3 - Ex. 14

Sejam T 1 : R 2 → R 2 e T 2 : R 2 → R 2 os operadores lineares dados pelas fórmulas

T 1 x ,   y = x + y ,   x - y     e       T 2 x ,   y = ( 2 x + y ,   x - 2 y )

  1. Mostre que T 1 e T 2 são injetores.
  2. Encontre fórmulas para

    3. T 1 - 1 x ,   y ,     T 2 - 1 x ,   y ,     T 2 ∘ T 1 - 1 ( x ,   y )

  3. Verifique que T 2 ∘ T 1 - 1 = T 1 - 1 ∘ T 2 - 1 .

Passo 1

Show de bola então, pra saber se a transformação é injetora ou não, a gente precisa saber se ela tem n u l T = 0 , ou seja, se a dimensão do núcleo for 0 , nossa matriz é invertível. Então a gente pode encontrar a matriz que representa essas transformações e verificar nulidade da matriz.

Passo 2

Em T 1 temos T 1 x ,   y = x + y ,   x - y , então a matriz é

A 1 = 1 1 1 - 1

Como todas as colunas são linearmente independentes, temos que p o s A 1 = 2 , e pelo teorema do núcleo e imagem temos que

p o s A 1 + n u l A 1 = n ⇒ 2 + n u l ( A 1 ) = 2

n u l A 1 = 0

Portanto T 1 é injetora.

Passo 3

Em T 2 , temos T 2 x ,   y = ( 2 x + y ,   x - 2 y ) e a matriz é

A 2 = 2 1 1 - 2

E também temos todas as colunas linearmente independentes, e como vimos na T 1 , aqui vamos ter que n u l A 2 = 0 , e ela também é injetora.

Passo 4

E agora pra encontrarmos as inversa, como já temos a representação matricial, vamos inverter elas através do algoritmo. Para T 1 , temos

A 1 = 1 1 1 - 1 ⇒ A 1 - 1 = 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 1 ⇒ A 1 - 1 = 1 2 1 1 1 - 1

T 1 - 1 x ,   y = 1 2 ( x + y ,   x - y )

Para T 2 , temos

A 2 = 2 1 1 - 2 ⇒ A 2 - 1 = 1 - 4 - 1 - 2 - 1 - 1 2 ⇒ A 2 - 1 = 1 5 2 1 1 - 2

T 2 - 1 x ,   y = 1 5 ( 2 x + y ,   x - 2 y )

E para a composição T 2 ∘ T 1 , podemos representar pelo produto das matrizes A 2 A 1 , então T 2 ∘ T 1 - 1 = A 2 A 1 - 1

A 1 = 1 1 1 - 1       e       A 2 = 2 1 1 - 2

A 2 A 1 = 2 1 1 - 2 1 1 1 - 1 = 3 1 - 1 3

Logo

T 2 ∘ T 1 - 1 = A 2 A 1 - 1 = 3 1 - 1 3 - 1 = 1 9 + 1 3 - 1 1 3

A 2 A 1 - 1 = 1 10 3 - 1 1 3

T 2 ∘ T 1 - 1 = 1 10 ( 3 x - y ,   x + 3 y )

Passo 5

E agora temos que verificar que T 2 ∘ T 1 - 1 = T 1 - 1 ∘ T 2 - 1 , como já encontramos a representação matricial dessas transformações, podemos escrever como

T 2 ∘ T 1 - 1 = T 1 - 1 ∘ T 2 - 1 = A 1 - 1 A 2 - 1

Sendo que

A 1 - 1 = 1 2 1 1 1 - 1       e       A 2 - 1 = 1 5 2 1 1 - 2

Logo

A 1 - 1 A 2 - 1 = 1 2 1 1 1 - 1 1 5 2 1 1 - 2 = 1 10 3 - 1 1 3

Portanto

T 2 ∘ T 1 - 1 = 1 10 3 - 1 1 3 = A 1 - 1 A 2 - 1 = T 1 - 1 ∘ T 2 - 1

Resposta

  1. Demonstração.
  2. T 1 - 1 x ,   y = 1 2 ( x + y ,   x - y ) , T 2 - 1 x ,   y = 1 5 ( 2 x + y ,   x - 2 y ) e T 2 ∘ T 1 - 1 = 1 10 ( 3 x - y ,   x + 3 y ) .
  3. Demonstração.
Ver Outros Exercícios desse livro

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