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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.3 - Ex. 17

Sejam T : P 1 → R 2 a função definida pela fórmula

T p x = p 0 ,   p 1

  1. Encontre T ( 1 - 2 x ) .
  2. Mostre que T é uma transformação linear.
  3. Mostre que T é injetora.
  4. Encontre T - 1 ( 2 ,   3 ) e esboce seu gráfico.

Passo 1

Na letra (a) temos que encontrar T ( 1 - 2 x ) , como T p x = p 0 ,   p 1 , então p x = 1 - 2 x , e temos que encontrar p 0   e   p ( 1 )

p 1 = 1 - 2 1 = - 1

p 0 = 1 - 2 0 = 1

Logo T 1 - 2 x = ( 1 ,   - 1 )

Passo 2

Na letra (b), para mostrarmos que é uma transformação linear, precisamos verificar as duas propriedades

  1. T k v = k T ( v ) [Homogeneidade]
  2. T u + v = T u + T ( v ) [Aditividade]

Então para (i), temos

T p x = p 0 ,   p 1

T k p x = k p 0 ,   k p 1 = k p 0 ,   p 1

E para (ii), temos

T p x + q ( x ) = p 0 + q 0 ,   p 1 + q 1

Sendo h x = p x + q ( x )

T p x + q ( x ) = p 0 + q 0 ,   p 1 + q 1 ⇒ T h x = h 0 ,   h 1

Passo 3

Na letra (c), p ( x ) pertence a P 1 ,e é um polinômio de grau 1 do tipo a x + b , e pra transformação ser injetora, temos que n u l T = 0 , como T p x = p 0 ,   p 1 , precisamos encontrar um polinômio tal que

p 0 = p 1 = 0

Mas nosso polinômio de grau 1, só possui UMA raiz, então pra isso poder acontecer só se p x = 0 , logo n u l T = 0 e nossa transformação é injetora.

Passo 4

Na letra (d), pra encontrarmos T - 1 ( 2 ,   3 ) , temos que usar a forma a x + b do polinômio, já que

p 0 = a 0 + b = 2

p 1 = a 1 + b = 3

Logo, b = 2 e a = 1 , dessa forma a x + b se torna x + 2 , portanto T - 1 2 ,   3 = 2 + x e seu gráfico é

Resposta

  1. T 1 - 2 x = 1 ,   - 1 .
  2. Demonstração.
  3. Demonstração.
  4. T - 1 2 ,   3 = 2 + x .
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