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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 4

Sejam f ( t )   =   a 0 + a 1 t + a 2 t ² + . . . + a n t n     e   g ( t )   =   b 0 + b 1 t + b 2 t ² + . . . + b n t n   polinômios quaisquer de P n ( R ) . A função ( f ( t ) , g ( t ) ) →   a 0   b 0 + a 1 b 1 + . . . + a n b n     ϵ   R     é um produto interno no espaço P n ( R ) ?

Passo 1

Para provar que é um produto interno , temos que provar as 4 propriedades: Simetria, Distributividade, Homogeneidade e positividade.

Vamos começar provando a Simetria, ou seja, que < f ( t ) , g ( t ) >   =   < g ( t ) , f ( t ) >

Sabemos que:

< f ( t ) , g ( t ) >   =   a 0 b 0 + a 1 b 1 + . . . + a n b n

< f ( t ) , g ( t ) >   = b 0   a 0 + b 1 a 1 + . . . + b n a n

< f ( t ) , g ( t ) >   =   < g ( t ) , f ( t ) >

Passo 2

Agora a Distributividade, ou seja, < f ( t ) + g ( t ) , h ( t ) >   =   < f ( t ) , h ( t ) >   +   < g ( t ) , h ( t ) >

seja h ( t )   =   c 0 + c 1 t + c 2 t ² + . . . + c n t n   , sabemos que:

< f ( t ) + g ( t ) , h ( t ) >   =   ( a 0 + b 0 ) c 0 + ( a 1 + b 1 ) c 1 + …+ ( a n + b n ) c n

< f ( t ) + g ( t ) , h ( t ) >   =   a 0 c 0 + b 0 c 0 + a 1 c 1 + b 1 c 1 + …+ a n c n + b n c n

< f ( t ) + g ( t ) , h ( t ) >   =   ( a 0 c 0 + a 1 c 1 + . . . + a n c n ) + ( b 0 c 0 + b 1 c 1 + … + b n c n )

< f ( t ) + g ( t ) , h ( t ) >   =   < f ( t ) , h ( t ) >   +   < g ( t ) , h ( t ) >

Passo 3

Na propriedade homogeneidade, temos que provar que : < λ f ( t ) , g ( t ) >   =   λ < f ( t ) , g ( t ) > . Sabemos que:

< λ f ( t ) , g ( t ) >   =   λ a 0   b 0 + λ a 1 b 1 + . . . + λ a n b n

< λ f ( t ) , g ( t ) >   =   λ ( a 0   b 0 + a 1 b 1 + . . . + a n b n )

< λ f ( t ) , g ( t ) >   =   λ < f ( t ) , g ( t ) >

Passo 4

Por fim vamos provar a Positividade, ou seja, < f ( t ) , f ( t ) >   ≥   0 ; < f ( t ) , f ( t ) >   = 0   ⇔ f ( t ) = 0  

< f ( t ) , f ( t ) >   =   a 0 ² + a 1 ² + . . . + a n ² ≥   0

se < f ( t ) , f ( t ) >   = 0 ⇔   a 0 ² + a 1 ² + . . . + a n ² =   0 ⇔   a i = 0   ∀ i   =   1 , . . . , n ⇔ f ( t ) = 0  

Como ( f ( t ) , g ( t ) ) →   a 0   b 0 + a 1 b 1 + . . . + a n b n     ϵ   R     satisfaz as 4 propriedades, é um produto interno.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja V um espaço euclidiano com produto interno u , v . Para que valores de α ∈R a aplicação: u , v → α u , v Também é produto interno sobre V ?
No espaço vetorial euclidiano R 4 sejam u = 1,2 , 0,1 e v = ( 3,1 , 4,2 ) . Determinar u , v ,u ,v ,d u , v ,u + v u + v e o cosseno do ângulo de u e v .
Verifique a lei do paralelogramo num espaço euclidiano V : u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 v 2 ,∀ u , v∈ V .
Sabendo que u = 3 e v = 5 , com u e v elementos de um espaço euclidiano, determine α ∈R de maneira que u + α v , u - α v = 0
Mostrar que, se 〈u , v〉 = 0 , para todo vetor v , então u = o .