Sejam f ( t )   =   a 0 + a 1 t + a 2 t ² + . . . + a n t n     e   g ( t )   =   b 0 + b 1 t + b 2 t ² + . . . + b n t n   polinômios quaisquer de P n ( R ) . A função ( f ( t ) , g ( t ) ) →   a 0   b 0 + a 1 b 1 + . . . + a n b n     ϵ   R     é um produto interno no espaço P n ( R ) ?

Passo 1

Para provar que é um produto interno , temos que provar as 4 propriedades: Simetria, Distributividade, Homogeneidade e positividade.

Vamos começar provando a Simetria, ou seja, que < f ( t ) , g ( t ) >   =   < g ( t ) , f ( t ) >

Sabemos que:

< f ( t ) , g ( t ) >   =   a 0 b 0 + a 1 b 1 + . . . + a n b n

< f ( t ) , g ( t ) >   = b 0   a 0 + b 1 a 1 + . . . + b n a n

< f ( t ) , g ( t ) >   =   < g ( t ) , f ( t ) >

Passo 2

Agora a Distributividade, ou seja, < f ( t ) + g ( t ) , h ( t ) >   =   < f ( t ) , h ( t ) >   +   < g ( t ) , h ( t ) >

seja h ( t )   =   c 0 + c 1 t + c 2 t ² + . . . + c n t n   , sabemos que:

< f ( t ) + g ( t ) , h ( t ) >   =   ( a 0 + b 0 ) c 0 + ( a 1 + b 1 ) c 1 + …+ ( a n + b n ) c n

< f ( t ) + g ( t ) , h ( t ) >   =   a 0 c 0 + b 0 c 0 + a 1 c 1 + b 1 c 1 + …+ a n c n + b n c n

< f ( t ) + g ( t ) , h ( t ) >   =   ( a 0 c 0 + a 1 c 1 + . . . + a n c n ) + ( b 0 c 0 + b 1 c 1 + + b n c n )

< f ( t ) + g ( t ) , h ( t ) >   =   < f ( t ) , h ( t ) >   +   < g ( t ) , h ( t ) >

Passo 3

Na propriedade homogeneidade, temos que provar que : < λ f ( t ) , g ( t ) >   =   λ < f ( t ) , g ( t ) > . Sabemos que:

< λ f ( t ) , g ( t ) >   =   λ a 0   b 0 + λ a 1 b 1 + . . . + λ a n b n

< λ f ( t ) , g ( t ) >   =   λ ( a 0   b 0 + a 1 b 1 + . . . + a n b n )

< λ f ( t ) , g ( t ) >   =   λ < f ( t ) , g ( t ) >

Passo 4

Por fim vamos provar a Positividade, ou seja, < f ( t ) , f ( t ) >   ≥   0 ; < f ( t ) , f ( t ) >   = 0   ⇔ f ( t ) = 0  

< f ( t ) , f ( t ) >   =   a 0 ² + a 1 ² + . . . + a n ² ≥   0

se < f ( t ) , f ( t ) >   = 0   a 0 ² + a 1 ² + . . . + a n ² =   0 ⇔   a i = 0   ∀ i   =   1 , . . . , n f ( t ) = 0  

Como ( f ( t ) , g ( t ) ) →   a 0   b 0 + a 1 b 1 + . . . + a n b n     ϵ   R     satisfaz as 4 propriedades, é um produto interno.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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