Sejam A, B, C, D matrizes de ordem n, sendo A e B semelhantes, C e D semelhantes. É verdade que A + C e B + D são semelhantes? E quanto a AC e BD?

Passo 1

Sabemos que A é semelhante a B , logo existe uma matriz P tal que:

A = P B P - 1

Sabemos que C é semelhante a D , logo existe uma matriz Q tal que:

C = Q D Q - 1

Passo 2

Vamos analisar a matriz ( A + C ) :

A + C = P B P - 1 + Q D Q - 1

Nessa equação não temos mais informações sobre as matrizes Q   e   P para colocar algo em evidência, logo não podemos concluir que A   +   C   e   B   +   D   são semelhantes.

Passo 3

Agora vamos olhar a matriz A C :

A C = P B P - 1 Q D Q - 1

Observe que se as matrizes P   e Q forem iguais a afirmação é verdadeira:

Se P = Q = X   temos:

A C = P B P - 1 Q D Q - 1

A C = X B X - 1 X D X - 1

A C = X B D X - 1

Desse modo, as matrizes   A C   e   B D são semelhantes apenas se P = Q .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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