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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.4 - Ex. 18

Uma linha de montagem utiliza robôs para a realização das tarefas necessárias para a montagem de um produto. Os técnicos acreditam que é necessário uma programação diferente para garantir a qualidade do produto final, mas suspeitam que o tempo necessário para completar o processo pode aumentar. Para verificar essa suspeita, 12 robôs foram selecionados e o tempo necessário para a montagem do produto foi medido, considerando-se a programação usual e a nova proposta. Os tempos observados (em minutos) para cada unidade foram medidos, produzindo a tabela a seguir:

  1. Faça uma análise descritiva adequada a estes dados. O que pode ser dito, baseando-se nessa análise?
  2. Existe diferença para os diferentes tipos de programação?
  3. Construa um intervalo de confiança de confiança com γ = 95 % para a diferença das médias populacionais dos tempos de montagem do produto.

Passo 1

Vamos realizar uma análise descritiva dos produtos calculando a média, mediana, variância e desvio padrão dos dados apresentados:

Programação usual:

N° da amostra: n = 12

média: x 1 _ = 80 + 90 + 93 + 92 + 75 + 92 + 72 + 87 + 90 + 86 + 78 + 97 12 = 86

mediana: 88,5

variância: v 1 2 =   ∑ i = 1 n ( x i - x 1 _ ) ² n - 1 =   ∑ i = 1 12 ( x i - 86 ) ² 12 - 1 = 62,9

desvio padrão: v 1 =   v 1 2 = 7,93

Programação nova:

N° da amostra: m = 12

média: x 2 _ = 100 + 85 + 90 + 102 + 90 + 99 + 97 + 95 + 100 + 94 + 89 + 98 12 = 94,91

mediana: 96

variância: v 2 2 =   ∑ i = 1 n ( x i - x 1 _ ) ² n - 1 =   ∑ i = 1 12 ( x i - 86 ) ² 12 - 1 = 28,6

desvio padrão: v 2 =   v 2 2 = 5,35

Passo 2

Com essa análise não podemos fazer um estudo aprofundado de comparação entre as atualizações dos robôs, porém com os dados obtidos, podemos notar que houve uma queda no valor do desvio padrão que indica que a dispersão dos dados diminuiu. Isso mostra que a nova programação é mais consiste que a primeira em termos de distribuição de dados, ou seja, os robôs executam a programação nova de uma forma muito mais uniforme.

Passo 3

Vamos construir um intervalo de confiança de confiança com γ = 95 % para a diferença das médias populacionais dos tempos de montagem do produto mas antes, temos que perceber que nada foi dito sobre as variâncias populacionais. Para saber construir o intervalo de confiança certo precisamos saber se as variâncias populacionais são iguais ou diferentes, então vamos realizar um teste de hipótese para comparar as variâncias populacionais.

Vamos agora escrever as hipóteses do teste de comparação entre as variâncias populacionais:

H 0 : σ 1 2 = σ 2 2

H 1 : σ 1 2 ≠ σ 2 2

Vamos calcular a estatística do teste utilizando as variâncias amostrais :

f o b s = v 1 2 v 2 2 = 62,9 28,6 = 2,19

Como o teste é bilateral, se f o b s pertencer a região crítica (RC) do teste, rejeitamos H 0 caso contrário H 0 é verdadeira.

Vamos escrever a região crítica do teste:

R C = 0 , f ( 1 - α 2 , n - 1 , m - 1 ) ∪ f ( α 2 , n - 1 , m - 1 ) , + ∞

Agora só precisamos calcular f ( 1 - α 2 , n - 1 , m - 1 ) e f ( α 2 , n - 1 , m - 1 ) , para isso vamos utilizar os valores da tabela F-snedecor com α = 5 %

f ( 1 - α 2 , n - 1 , m - 1 ) = f ( 0.975,11,11 ) = 0,355

f ( α 2 , n - 1 , m - 1 ) = f ( 0.025,11,11 ) = 2,818

Agora vamos reescrever a região crítica e analisar f o b s :

R C = 0 , f ( 1 - α 2 , n - 1 , m - 1 ) ∪ f ( α 2 , n - 1 , m - 1 ) , + ∞

R C = 0 ; 0,355 ∪ 2,818 ; + ∞

Temos que f o b s =   2,19 logo f o b s pertence à RC então rejeitamos H 0 .

Então podemos concluir que as variâncias populacionais entre as duas técnicas são diferentes.

Passo 4

Agora vamos construir o intervalo de confiança para a diferença das médias populacionais com variâncias populacionais desconhecidas e diferentes.

Vamos começar descobrindo o grau de liberdade v , em que:

v = v 1 2 n + v 2 2 m 2 v 1 2 n 2 n - 1 + v 2 2 m 2 m - 1 = 62,9 12 + 28,6 12 2 62,9 12 2 12 - 1 + 28,6 12 2 12 - 1 = 19,35

Considerando v = 19,35 o número de graus de liberdade, o intervalo de confiança para a diferença de duas médias com variâncias desconhecidas e diferentes é:

I C   ( μ A - μ B ,   95 % ) = ( x 1 _ - x 2 _ ) - T α 2 . v 1 2 n + v 2 2 m ;   ( x A _ - x B _ ) + T α 2 . v 1 2 n + v 2 2 m

Através da tabela T-student podemos obter o valor de T α 2 = 2,093 . Logo:

I C   ( μ A - μ B ,   95 % ) = ( x 1 _ - x 2 _ ) - T α 2 . v 1 2 n + v 2 2 m ;   ( x A _ - x B _ ) + T α 2 . v 1 2 n + v 2 2 m

I C   ( μ A - μ B ,   95 % ) = ( 86 - 94,91 ) - 2,093 . 62,9 12 + 28,6 12 ;   ( 86 - 94,91 ) + 2,093 . 62,9 12 + 28,6 12

I C   ( μ A - μ B ,   95 % ) = ( - 14,68 ; - 3,14 )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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