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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 8

Sejam P um ponto da parábola y   =   a x ² e P ’ o ponto em que a tangente a essa parábola pelo ponto P corta o eixo 0 Y . Mostre que P e P ' são equidistantes do eixo 0 X . A partir daí, obtenha um método gráfico para traçar a tangente por P.

Passo 1

Olá galera! tudo bem?

Bora junto resolver mais um problema!

Esse é exercício é totalmente algébrico pois se trata de uma demonstração. Beleza!

Preparado?

Inicialmente sabemos que a equação da parábola terá a equação y =   a x 2   e dois pontos o P que pertence, vou chama-lo de (   2 a p , a p ² ) a parábola e P’ que pertence a uma reta tangente a parábola vou chama-lo apenas de P ’

Vamos começar então!

Para a reta tangente teremos que:

y - a p 2 = p ( x - 2 a p )  

y - p x + a p 2 = 0    

Para a reta tangente no eixo y temos:

y - 0 + a p 2 = 0

y =   - a p 2             e           x   = 0

Utilizando o conceito de geometria analítica de distância de pois pontos, vamos obter:

d =   0 - 0 2 + a - a p 2 2     = | a + a p 2 |

d 1 =   2 a p - 0 2 + a - a p 2 2    

d 1 =     a 2 + a ² p 4 + 2 a ² p ²    

d 1 =     a 2 + a ² p 4 + 2 a ² p ²       = | a + a p 2 |

Ou seja temos d = d 1 provando assim que ambos os pontos são equidistantes.

Graficamente vamos obter:

Prontinho, acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

d =   0 - 0 2 + a - a p 2 2     = | a + a p 2 |

d 1 =   2 a p - 0 2 + a - a p 2 2    

d 1 =     a 2 + a ² p 4 + 2 a ² p ²    

d 1 =     a 2 + a ² p 4 + 2 a ² p ²       = | a + a p 2 |

Ou seja temos d = d 1 provando assim que ambos os pontos são equidistantes.

Graficamente:

Exercícios de Livros Relacionados

5.1. 4. Escreva as equações das seguintes parábolas: (a) O foco é F = (0, 2) e diretriz y = −2;
Mostre que a equação da parábola com foco no ponto F = ( x 0 + p , y 0 ) e a reta diretriz r : x = x 0 - p é y - y 0 2 = 4 p ( x - x 0 ) .
Mostre que um espelho parabólico reflete na direção do foco os raios que incidem paralelos ao seu eixo de simetria seguindo os seguintes passos:
Mostre que um espelho parabólico reflete na direção do foco os raios que incidem paralelos ao seu eixo de simetria seguindo os seguintes passos:
Identificar a cônica, achar a equação no último sistema de coordenadas utilizando e fazer um esboço do gráfico. 8 x 2 + 8 y 2 - 16 x y + 33 2 x - 31 2 y + 70 = 0