Enunciado

33 Sejam P o ponto 2 ,   3 ,   - 2 e Q o ponto 7 ,   - 4 ,   1

  1. Encontre um ponto médio do segmento de reta que liga P a Q .
  2. Encontre o ponto no segmento de reta que liga P a Q que está a 3 4 do caminho de P a Q.

Passo 1

a)

Vamos usar a equação que a gente acabamos de ver no exercício anterior (se você não fez o exercício anterior da uma olhadinha nele, Exercicio 32 dessa seção):

u = O P → + 1 2 O Q → - O P →

Esse vetor vai nos fornecer as coordenadas do ponto que a gente procura. Substituindo os valores dos vetore:

u = 2 ,   3 ,   - 2 + 1 2 7 ,   - 4 ,   1 - 2 ,   3 ,   - 2

Subtraindo cada termo com seu correspondente:

u = 2 ,   3 ,   - 2 + 1 2 7 - 2 ,   - 4 - 3 ,   1 + 2

u = 2 ,   3 ,   - 2 + 1 2 5 ,   - 7 ,   3

Multiplicando cada termo do vetor:

u = 2 ,   3 ,   - 2 + 5 2 ,   - 7 2 , 3 2

E por fim, somando cada termo com seu correspondente:

u = 2 + 5 2 ,   3 - 7 2 , - 2 + 3 2

u = 9 2 ,   - 1 2 , - 1 2

Então o ponto médio do segmento é:

P a = 9 2 ,   - 1 2 , - 1 2

Passo 2

b)

Vamos pensar assim, se antes a gente somou O P → com metade do vetor O Q → - O P → . Agora vamos somar com 3 4 desse vetor, que vamos achar o vetor que a gente procura. Vamos chama-lo de v :

v = O P → + 3 4 O Q → - O P →

Substituindo os valores:

v = 2 ,   3 ,   - 2 + 3 4 7 ,   - 4 ,   1 - 2 ,   3 ,   - 2

v = 2 ,   3 ,   - 2 + 3 4 5 ,   - 7 ,   3

Multiplicando cada termo do vetor:

v = 2 ,   3 ,   - 2 + 1 5 4 ,   - 21 4 , 9 4

E somando os dois:

v = 2 + 15 4 ,   3 - 21 4 , - 2 + 9 4

v = 23 4 ,   - 9 4 , 1 4

O ponto que procurávamos é:

P b = 23 4 ,   - 9 4 , 1 4

Resposta

a)

P a = 9 2 ,   - 1 2 , - 1 2

b)

P b = 23 4 ,   - 9 4 , 1 4

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