Enunciado

29 Sejam u 1 = - 1 ,   3 ,   2 ,   0 , u 2 = 2 ,   0 ,   4 ,   - 1 , u 3 = 7 ,   1 ,   1 ,   4 e u 4 = 6 ,   3 ,   1 ,   2 . Encontre escalares a1, a2, a3 e a4 tais que a1u1+a2u2+a3u3+a4u4= 0 ,   5 ,   6 ,   - 3 .

Passo 1

Vamos multiplicar esses escalares. Quando multiplicamos um vetor por um escalar precismos multiplicar cada componente desse vetor por esse escalar, fazendo isso para as 4 multiplicações da equação

1ª:

a 1 u 1 = a 1 ⋅ - 1 ,   3 ,   2 ,   0

a 1 u 1 = - a 1 ,   3 a 1 ,   2 a 1 ,   0

2ª:

a 2 u 2 = a 2 ⋅ 2 ,   0 ,   4 ,   - 1

a 2 u 2 = 2 a 2 ,   0 ,   4 a 2 ,   - a 2

3ª:

a 3 u 3 = a 3 ⋅ 7 ,   1 ,   1 ,   4

a 3 u 3 = 7 a 3 ,   a 3 ,   a 3 ,   4 a 3

4ª:

a 4 u 4 = a 4 ⋅ 6 ,   3 ,   1 ,   2

a 4 u 4 = 6 a 4 ,   3 a 4 ,   a 4 ,   2 a 4

Passo 2

Vamos olhar para o termo da direita da equação:

a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 + a 4 u 4

Substituindo os valores encontrados:

- a 1 ,   3 a 1 ,   2 a 1 ,   0 + 2 a 2 ,   0 ,   4 a 2 ,   - a 2 + 7 a 3 ,   a 3 ,   a 3 ,   4 a 3 + 6 a 4 ,   3 a 4 ,   a 4 ,   2 a 4

Quando queremos somar ou subtrair vetores precisamos somar ou subtrair cada componente com o termo corrrespondente do outro vetor, ou seja, x com x, y com y, z com z e assim por diante.

Somando os termos, temos:

- a 1 + 2 a 2 + 7 a 3 + 6 a 4 ,   3 a 1 + a 3 + 3 a 4 ,   2 a 1 + 4 a 2 + a 3 + a 4 ,   - a 2 + 4 a 3 + 2 a 2

Vamos montar uma equação para cada um desses termos, igualando eles com os termos que estão no vetor do outro lado da igualdade:

- a 1 + 2 a 2 + 7 a 3 + 6 a 4 = 0   3 a 1 + a 3 + 3 a 4 = 5 2 a 1 + 4 a 2 + a 3 + a 4 = 6 - a 2 + 4 a 3 + 2 a 2 = - 3

Passo 3

Vamos resolver esse sistema escrevendo a matriz aumentada e escalonando ela:

- 1 2 7 6 0 3 0 1 3 5 2 4 1 1 6 0 - 1 4 2 - 3

Usando as técnicas aprendidas nos capítulos anteriores ou usando um software resolvemos esse sistema e descobrimos que:

a 1 = 1

a 2 = 1

a 3 = - 1

a 4 = 1  

Resposta

a 1 = 1

a 2 = 1

a 3 = - 1

a 4 = 1  

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