29 Sejam u 1 = - 1 ,3 ,2 ,0 , u 2 = 2 ,0 ,4 ,- 1 , u 3 = 7 ,1 ,1 ,4 e u 4 = 6 ,3 ,1 ,2 . Encontre escalares a1, a2, a3 e a4 tais que a1u1+a2u2+a3u3+a4u4= 0 ,5 ,6 ,- 3 .

a 1 = 1 a 2 = 1 a 3 = - 1 a 4 = 1

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 29

29 Sejam , , e . Encontre escalares a1, a2, a3 e a4 tais que a1u1+a2u2+a3u3+a4u4=.

Passo 1

Vamos multiplicar esses escalares. Quando multiplicamos um vetor por um escalar precismos multiplicar cada componente desse vetor por esse escalar, fazendo isso para as 4 multiplicações da equação

1ª:

2ª:

3ª:

4ª:

Passo 2

Vamos olhar para o termo da direita da equação:

Substituindo os valores encontrados:

Quando queremos somar ou subtrair vetores precisamos somar ou subtrair cada componente com o termo corrrespondente do outro vetor, ou seja, x com x, y com y, z com z e assim por diante.

Somando os termos, temos:

Vamos montar uma equação para cada um desses termos, igualando eles com os termos que estão no vetor do outro lado da igualdade:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema escrevendo a matriz aumentada e escalonando ela:

Usando as técnicas aprendidas nos capítulos anteriores ou usando um software resolvemos esse sistema e descobrimos que:

Resposta

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Encontre uma equação ponto-normal do plano dado.O plano representado pela equação vetorial ( x ,y ,z )=( - 1 ,5 ,6 )+t 1 ( 0 ,- 1 ,3 )+t 2 ( 2 ,- 1 ,0 ) .

Suponha que { v 1 ,v 2 ,v 3 } e { w 1 ,w 2 } sejam dois conjuntos de vetores tais que v i e w j são ortogonais, com quaisquer i e j . Prove que se a 1 ,a 2 ,a 3 ,b 1 ,b 2 são escalares quaisquer, entã

Prove que ||u + v|| = ||u|| + ||v|| se, e só se, u e v são vetores paralelos.

Encontre equações vetoriais e paramétricas da reta ou plano dados.A reta em R 3 que contém o ponto P ( - 1 ,6 ,0 ) e é ortogonal ao plano 4 x-z =5 .

Prove que se dois vetores u e v em R 2 forem ortogonais a um terceiro vetor não nulo w em R 2 , então u e v são múltiplos escalares um do outro.