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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 25

Prove que, qualquer que seja o vetor vec v , ‖vec v ^^ vec i‖^2 + ‖vec v ^^ vec j‖^2 + ‖vec v ^^ vec k‖^2 = 2 ‖vec v‖^2 .

Passo 1

A questão pede para provarmos que para qualquer vetor vec v , vale

‖vec v ^^ vec i‖^2 + ‖vec v ^^ vec j‖^2 + ‖vec v ^^ vec k‖^2 = 2 ‖vec v‖^2

Para isso, vamos considerar vec v = ( x , y , z ) . Assim,

vec v ^^ vec i = |[[vec i,vec j,vec k],[x,y,z],[1,0,0]]| = z vec j - y vec k = ( 0 , z , - y )

vec v ^^ vec j = |[[vec i,vec j,vec k],[x,y,z],[0,1,0]]| = - z vec i + x vec k = ( - z , 0 , x )

vec v ^^ vec k = |[[vec i,vec j,vec k],[x,y,z],[0,0,1]]| = y vec i - x vec j = ( y , - x , 0 )

Passo 2

Com isso, temos que

‖vec v ^^ vec i‖^2 = 0^2 + z^2 + (- y)^2 = y^2 + z^2

‖vec v ^^ vec j‖^2 = (- z)^2 + 0^2 + x^2 = x^2 + z^2

‖vec v ^^ vec k‖^2 = y^2 + (- x)^2 + 0^2 = x^2 + y^2

Portanto,

‖vec v ^^ vec i‖^2 + ‖vec v ^^ vec j‖^2 + ‖vec v ^^ vec k‖^2 = y^2 + z^2 + x^2 + z^2 + x^2 + y^2 = 2 ( x^2 + y^2 + z^2 )

Mas sabemos que x^2 + y^2 + z^2 = ‖vec v‖^2 . Logo,

‖vec v ^^ vec i‖^2 + ‖vec v ^^ vec j‖^2 + ‖vec v ^^ vec k‖^2 = 2 ‖vec v‖^2

Resposta

Demonstração.

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Se vec u = 3 vec i - vec j - 2 vec k , vec v = 2 vec i + 4 vec j - vec k e vec w = - vec i + vec k , determinar:| vec u xx vec u |
Se u → = 3 i → - j → - 2 k → , v → = 2 i → + 4 j → - k → e w → = - i → + k → , determinar:f) u → × v → × w →
Se u → = 3 i → - j → - 2 k → , v → = 2 i → + 4 j → - k → e w → = - i → + k → , determinar:b) ( 2 v → ) × ( 3 v → )
Se u → = 3 i → - j → - 2 k → , v → = 2 i → + 4 j → - k → e w → = - i → + k → , determinar:d) ( u → × v → ) × ( v → × u → )
Com base na Figura 3.14, calcularb) |vec B A xx vec B C|