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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 23

Determine vec x tal que vec x ^^ (vec i + vec k) = 2 ( vec i + vec j - vec k ) e ‖vec x‖ = sqrt(6) .

Passo 1

Nesse problema, queremos achar o vetor vec x que satisfaça vec x ^^ (vec i + vec k) = 2 ( vec i + vec j - vec k ) e ‖vec x‖ = sqrt(6) . Assim, vamos chamar

vec x = ( a , b , c )

A equação vetorial pode ser escrita como

(a , b , c) ^^ (1 , 0 , 1) = ( 2 , 2 , - 2 )

Passo 2

Usando a fórmula do produto vetorial com determinante:

(a , b , c) ^^ (1 , 0 , 1) = |[[vec i,vec j,vec k],[a,b,c],[1,0,1]]| = b vec i + ( c - a ) vec j - b vec k = ( b , c - a , - b )

Como (a , b , c) ^^ (1 , 0 , 1) = ( 2 , 2 , - 2 ) , temos que

(b , c - a , - b) = ( 2 , 2 , - 2 )

Assim,

{[[b = 2],[c - a = 2]])

Além disso, a norma de vec x deve ser sqrt(6) :

sqrt(a^2 + 2^2 + c^2) = sqrt(6) => a^2 + c^2 = 6 - 4 = 2

Da segunda equação do sistema, temos que c = 2 + a :

a^2 + (2 + a)^2 = 2 => 2 a^2 + 4 a + 4 = 2 => a^2 + 2 a + 1 = 0 => (a + 1)^2 = 0 => a = - 1

Assim,

c = 2 + (- 1) = 1

Portanto,

vec x = ( - 1 , 2 , 1 )

Resposta

vec x = ( - 1 , 2 , 1 )

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