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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 39c

Sejam U = u 1 , u 2 , u 3 ,   V = ( v 1 , v 2 , v 3 ) e W = w 1 , w 2 , w 3 . Prove a fórmula seguinte para o produto vetorial duplo

U   x   V   x   W = U . W V - U . V W

(c)Prove agora o caso geral usando o item anterior e as propriedades do produto vetorial.

Passo 1

Fala ae, galera! Tudo bem? 😊

Para resolver essa questão precisamos definir quem são os vetores U , V e W :

U = ( u 1 , u 2 , u 3 )

V = v 1 , v 2 , v 3

W = ( w 1 , w 2 , w 3 )

Passo 2

Resolvendo o produto vetorial V   x   W :

V   x   W = d e t v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 i → j → k → = v 1 w 2 k → + v 2 w 3 i → + v 3 w 1 j → - v 3 w 2 i → - v 1 w 3 j → - v 2 w 1 k →

Agora, temos que:

U   x   V   x   W = d e t u 1 u 2 u 3 v 2 w 3 - v 3 w 2 v 3 w 1 - v 1 w 3 v 1 w 2 - v 2 w 1 i → j → k → =

U   x   V   x   W = u 2 v 1 w 2 - v 2 w 1 - u 3 v 3 w 1 - v 1 w 3 i → + u 3 v 2 w 3 - v 3 w 2 - u 1 v 1 w 2 - v 2 w 1 j → + [ u 1 v 3 w 1 - v 1 w 3 - u 2 v 2 w 3 - v 3 w 2 ] k →

Passo 3

Para o mesmo U e V , vamos analisar:

U . W V - U . V W

Resolvendo o produto interno para U e W :

U . W = u 1 , u 2 , u 3 . w 1 , w 2 , w 3 = u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3

Multiplicando por V :

U . W V = u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 v 1 , v 2 , v 3 = v 1 u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 i → + v 2 u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 j → + [ v 3 u 1 w 1 + u 2 w 2 + u 3 w 3 k →

Passo 4

Resolvendo o produto interno para U e V :

U . V = u 1 , u 2 , u 3 . v 1 , v 2 , v 3 = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3

Multiplicando por W :

U . V W = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 w 1 , w 2 , w 3 = w 1 u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 i → + w 2 u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 j → + w 3 u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 k →

Passo 5

Portanto, U . W V - U . V W será:

U . W V - U . V W =   u 2 v 1 w 2 - v 2 w 1 - u 3 v 3 w 1 - v 1 w 3 i → + u 3 v 2 w 3 - v 3 w 2 - u 1 v 1 w 2 - v 2 w 1 j → + [ u 1 v 3 w 1 - v 1 w 3 - u 2 v 2 w 3 - v 3 w 2 ] k →

Assim,

U   x   V   x   W = U . W V - U . V W

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o .

Exercícios de Livros Relacionados

Sendo ( i → ,j → ,k → ) uma base ortonormal positiva, descreve, sem fazer cálculos, o conjunto-solução de cada uma das equações.a) x → ∧ 2 i → + j → - k → = 4 i → + 3 k → b) x → ∧ 2 i → + 3 k → = 0 →
Resolva a equação(vec i ^^ vec x) ^^ vec i + (vec x ^^ vec j) ^^ vec j + (vec x ^^ vec k) ^^ vec k = vec 0
Aponte, na dedução de [11-4], onde foi usada a ortonormalidade de B e onde foi necessário que V 3 estivesse orientado.
Determine x → de norma 3 , ortogonal a ( 1 ,1 ,0 ) e a ( - 1 ,0 ,1 ) , e que forma ângulo agudo com j → .
Mostre que, se E = p → ,q → ,r → é uma base ortonormal negativa, u → = a 1 ,b 1 ,c 1 E e v → = a 2 , b 2 ,c 2 E , então u → ∧ v → = - p → q → r → a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2