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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 24

Resolva a equação

(vec i ^^ vec x) ^^ vec i + (vec x ^^ vec j) ^^ vec j + (vec x ^^ vec k) ^^ vec k = vec 0

Passo 1

Queremos resolver a equação

(vec i ^^ vec x) ^^ vec i + (vec x ^^ vec j) ^^ vec j + (vec x ^^ vec k) ^^ vec k = vec 0

Para isso, vamos escrever vec x = ( x , y , z ) . Assim,

vec i ^^ vec x = |[[vec i,vec j,vec k],[1,0,0],[x,y,z]]| = ( 0 , - z , y )

vec x ^^ vec j = |[[vec i,vec j,vec k],[x,y,z],[0,1,0]]| = ( - z , 0 , x )

vec x ^^ vec k = |[[vec i,vec j,vec k],[x,y,z],[0,0,1]]| = ( y , - x , 0 )

Passo 2

Assim,

(vec i ^^ vec x) ^^ vec i = |[[vec i,vec j,vec k],[0,-,z,y],[1,0,0]]| = ( 0 , y , z )

(vec x ^^ vec j) ^^ vec j = |[[vec i,vec j,vec k],[-,z,0,x],[0,1,0]]| = ( - x , 0 , - z )

(vec x ^^ vec k) ^^ vec k = |[[vec i,vec j,vec k],[y,-,x,0],[0,0,1]]| = ( - x , - y , 0 )

Portanto,

(vec i ^^ vec x) ^^ vec i + (vec x ^^ vec j) ^^ vec j + (vec x ^^ vec k) ^^ vec k = (0 , y , z) + (- x , 0 , - z) + ( - x , - y , 0 )

Logo,

(- 2 x , 0 , 0) = ( 0 , 0 , 0 )

Obtemos x = 0 como solução. Assim,

vec x = (0 , y , z) = y vec j + z vec k

Portanto, a solução da equação é o conjunto dos vetores que é combinação linear de vec j e vec k .

Resposta

vec x = (0 , y , z) = y vec j + z vec k

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