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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 16

Mostre que, se E = p → ,   q → ,   r → é uma base ortonormal negativa, u → = a 1 ,   b 1 ,   c 1 E e v → = a 2 , b 2 ,   c 2 E , então

u → ∧ v → = - p → q → r → a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2

Passo 1

Bom, se p → ,   q → ,   r → é uma base ortonormal negativa, então F = p → ,   r → ,   q → é uma base ortonormal positiva, pois é uma permutação não-cíclica de E . Ver o exercício 10-6 para entender melhor essa parte!

Agora temos que escrever u → e v → na base F :

u → = a 1 p → + b 1 q → + c 1 r → = a 1 ,   c 1 ,   b 1 F

u → = a 2 p → + b 2 q → + c 2 r → = a 2 ,   c 2 ,   b 2 F

Passo 2

Como F é uma base positiva, vale

u → ∧ v → = p → r → q → a 1 c 1 b 1 a 2 c 2 b 2

Sempre que permutamos duas colunas de um determinante, ele muda de sinal. Fazendo isso com a segunda e terceira colunas:

p → q → r → a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 = - p → r → q → a 1 c 1 b 1 a 2 c 2 b 2

Portanto,

u → ∧ v → = - p → q → r → a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2

Resposta

Demonstração.

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