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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 26

Determine x → de norma 3 , ortogonal a ( 1 ,   1 ,   0 ) e a ( - 1 ,   0 ,   1 ) , e que forma ângulo agudo com j → .

Passo 1

Bom, queremos achar x → = ( x ,   y ,   z ) . Como ele é ortogonal a ( 1 ,   1 ,   0 ) :

x ,   y ,   z ⋅ 1 ,   1 ,   0 = x + y = 0 ⇒ y = - x ⇒ x → = ( x ,   - x ,   z )

Da mesma forma, como ele é ortogonal a ( - 1 ,   0 ,   1 ) :

x ,   - x ,   z ⋅ - 1 ,   0 ,   1 = 0 ⇒ - x + z = 0 ⇒ z = x

Logo,

x → = x ,   - x ,   x = x   ( 1 ,   - 1 ,   1 )

Passo 2

Como a norma de   x → é 3 :

x 2 ⋅ 1 2 + - 1 2 + 1 2 = 3 2 ⇒ 3 x 2 = 3 ⇒ x = ± 1

Temos duas possíveis respostas:

x → = 1 ,   - 1 ,   1               o u             x → = ( - 1 ,   1 ,   - 1 )

Como ele deve formar um ângulo agudo com o vetor j → , devemos ter

x → ⋅ j → > 0

Assim, devemos ter y > 0 e a única resposta válida é

x → = ( - 1 ,   1 ,   - 1 )

Resposta

x → = ( - 1 ,   1 ,   - 1 )

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