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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.Teste do Capítulo - Ex. 1b

Sejam S 1 e S 2 subconjuntos finitos do R n tais que S 1 seja um subconjunto de S 2 ( S 1 ≠ S 2 ) . Se S 2 é linearmente dependente, então:

b) S 1 pode ser linearmente independente? Em caso afirmativo dê um exemplo.

Passo 1

Vamos tentar fazer uma análise análoga ao da questão anterior. Belezinha?

Passo 2

A resposta é novamente afirmativa! Note que os vetores que possibilitam a dependência linear dentro do subconjunto S 2 não necessariamente precisa estar contido dentro de S 1 ! Vamos dar um exemplo!

Passo 3

Se temos os vetores no R 3 , que formam o S 2 da seguinte forma:

S 2 = { 1,2 , 0 ; 0 , 4,6 ; ( ( 1 , 6 , 6 ) ) }

Note que se aplicarmos em equação (1), temos:

x 1 1,2 , 0 + x 2 0 , 4,6 + x 3 1 , 6 , 6 = 0

Temos ao menos a solução não-trivial x 1 = x 2 = α e x 3 = - α . Se pegarmos um subconjunto S 1 = { 1,2 , 0 ; ( 0 , 4,6 ) } que é subconjunto de S 2 , note que agora é impossível encontrar uma solução sem ser a trivial!

x 1 1,2 , 0 + x 2 0 , 4,6 = 0

Note que é impossível eliminar o componente 3 do primeiro vetor e é impossível eliminar o componente 1 do segundo vetor, portanto, a única solução é x 1 = x 2 = 0 . A questão foi isso, te vejo na próxima!

Resposta

Ao longo dos passos

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Explique por que a proposição anterior é válida também para n ≥ 4 .
Considere o vetor f 1 = ( 1 2 , 3 2 ) .b) Considere P = ( 3 , 3 ) . Escreva P como combinação linear dos elementos de S .
Sejam S 1 e S 2 subconjuntos finitos do R n tais que S 1 seja um subconjunto de S 2 ( S 1 ≠ S 2 ) . Se S 2 é linearmente dependente, então:a) S 1 pode ser linearmente dependente? Em caso afirmativo dê
Considere o vetor f 1 = ( 1 2 , 3 2 ) .b) Considere P = ( 3 , 3 ) . Escreva P como combinação linear dos elementos de S .