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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 27

Sejam V um vetor não nulo no espaço e α ,   β ,   γ os ângulos que V forma com os vetores i → ,   j → ,   k → , respectivamente. Demonstre que

cos 2 ⁡ α +   cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1

Passo 1

Vamos incialmente explicitar o cálculo do cosseno de cada ângulo:

cos ⁡ α =   V ∙ i → V i →

cos ⁡ β =   V ∙ j → V j →

cos ⁡ γ =   V ∙ k → V k →

Passo 2

Sabemos que

i → = j → = k → = 1

E podemos definir V como:

V = ( a ,   b ,   c )

Portanto:

V 2 = a 2 + b 2 + c 2

Assim:

V ∙ i → = a

V ∙ j → = b

V ∙ k → = c

Portanto, podemos substituir nas equações do passo 1.

Passo 3

cos ⁡ α =   a V 1

cos ⁡ β =   b V 1

cos ⁡ γ =   c V 1

Dessa forma:

cos 2 ⁡ α +   cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = a 2 + b 2 + c 2 V 2 = a 2 + b 2 + c 2 a 2 + b 2 + c 2 = 1

Resposta

cos 2 ⁡ α +   cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = a 2 + b 2 + c 2 a 2 + b 2 + c 2 = 1

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Dados os vetores vec u = ( 2 , - 3 , - 1 ) e vec v = ( 1 , - 1,4 ) d)(vec u + vec v) * ( vec v - vec u )
Dados os vetores vec u = ( 2 , - 3 , - 1 ) e vec v = ( 1 , - 1,4 ) , calcular:2 vec u * ( - vec v )