Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 7
Verifique se as retas r: (x,y,z) = (9t, 1+6t, -2+3t) e s: (x,y,z) = (1+2t, 3+t, 1) se interceptam e em caso afirmativo determine a interseção.
Passo 1
Podemos determinar a interseção das retas igualando-as:
(9r, 1+6r, -2+3r) = (1+2s, 3+s, 1)
Como temos três coordenadas, podemos montar um sistema, de forma que:
Isolando as variáveis:
Passo 2
O sistema montado pode ser resolvido como uma matriz pelo método de escalonamento, porém, ele também pode ser resolvido facilmente isolando r na última equação e substituindo nas demais:
Podemos substituir r tanto na primeira quanto na segunda equação para acharmos s:
Ou:
Passo 3
Substituindo os pontos encontrados em suas respectivas equações:
r: (x,y,z) = (9r, 1+6r, -2+3r)
r: (x,y,z) = (9(1), 1+6(1), -2+3(1))
r: (x,y,z) = (9, 7, 1)
E:
s: (x,y,z) = (1+2s, 3+s, 1)
s: (x,y,z) = (1+2(4), 3+(4), 1)
s: (x,y,z) = (9, 7, 1)
Resposta
As retas se interceptam no ponto P = (9, 7, 1).