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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 16b

b) Ache equações da reta que passa pelo ponto A = (1, 0, 1) e intercepta a reta r ortogonalmente.

Passo 1

Da questão 16 (a), temos que a equações dos planos que se interceptam segundo a reta r são:

2x – y + z = 0

x + 2y – z = 1

Montando um sistema e resolvendo matricialmente por escalonamento:

2 - 1 1 1 2 - 1 0 1 → 1 - 1 2 1 2 1 2 - 1 0 1 → 1 - 1 2 1 2 0 5 2 - 3 2 0 1 → 1 - 1 2 1 2 0 1 - 3 5 0 2 5 →

1 0 1 5 0 1 - 3 5 1 5 2 5

Ou seja:

X =   1 5 - 1 5 z 2 5 + 3 5 z z

Além disso, foi descoberto na questão 16 (a) que o vetor diretor da reta r é V = (-1, 3, 5)

Logo, temos um ponto P r = ( 1 5 - t , 2 5 + 3t, 5t) pertencente à reta r.

Passo 2

Para que A P r → seja perpendicular ao vetor diretor da reta r (V), podemos realizar o produto escalar entre A P r → e V, de forma a descobrir o valor de t:

A P r → = ( 1 5 - t - 1 ,   2 5   +   3 t ,   5 t - 1 )  

A P r → = ( - 4 5 - t ,   2 5   +   3 t ,   5 t - 1 )  

A P r → ∙ V = - 4 5 - t ∙ - 1 + 2 5   +   3 t ∙ 3 + 5 t - 1 ∙ 5

A P r → ∙ V = 4 5 + t + 6 5   +   9 t + 25 t - 5

A P r → ∙ V = - 3 + 35 t

Montando a expressão e resolvendo:

0   = - 3 + 35 t

3 = 35 t

t = 3 35

Passo 3

Substituindo em A P r → o valor de t encontrado:

A P r → = ( - 4 5 - 3 35 ,   2 5   +   3 ( 3 35 ) ,   5 ( 3 35 ) - 1 )  

A P r → = ( - 31 35 , 23 35 ,   - 4 7 )  

O qual é o vetor diretor da reta desejada. Utilizando o ponto A = (1, 0, 1), dito presente na reta, podemos encontrar a equação da reta:

(x, y, z) = (1 - 31 35 t ,   23 35 t ,   1 - 4 7 t )

Resposta

(x, y, z) = (1 - 31 35 t ,   23 35 t ,   1 - 4 7 t )

Exercícios de Livros Relacionados

Estabelecer as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A 3,6 , 4 , intercepta o eixo O z e é paralela ao plano. π : x - 3 y + 5 z - 6 = 0
Sejam a reta r e o plano π dado por r : y = 2 x - 3 z = - x + 2 e π : 2 x + 4 y - z - 4 = 0 Determinar:Equações da reta interseção de π com o plano x O y .
Verificar se a reta r está contida no plano pi :r : {[[y = 2 h + 1],[z = 2 x - 1]]) e pi : 2 x + y - 3 z - 4 = 0
Verificar se a reta r está contida no plano pi :r : x - 2 = (y + 2)/(2) = z + 3 e pi : {[[x = h + t],[y = - 1 + 2 h - 3 t],[z = - 3 + h - t]])
Dados a reta r e o plano π , determine o valor de m para que se tenha r / / π e r ⊥ π , nos casos: r : x = - 3 + t y = - 1 + 2 t z = 4 t e π : m x - y - 2 z - 3 = 0