b) Ache equações da reta que passa pelo ponto A = (1, 0, 1) e intercepta a reta r ortogonalmente.

Passo 1

Da questão 16 (a), temos que a equações dos planos que se interceptam segundo a reta r são:

2x – y + z = 0

x + 2y – z = 1

Montando um sistema e resolvendo matricialmente por escalonamento:

2 - 1 1 1 2 - 1 0 1 → 1 - 1 2 1 2 1 2 - 1 0 1 → 1 - 1 2 1 2 0 5 2 - 3 2 0 1 → 1 - 1 2 1 2 0 1 - 3 5 0 2 5 →

1 0 1 5 0 1 - 3 5 1 5 2 5

Ou seja:

X =   1 5 - 1 5 z 2 5 + 3 5 z z

Além disso, foi descoberto na questão 16 (a) que o vetor diretor da reta r é V = (-1, 3, 5)

Logo, temos um ponto P r = ( 1 5 - t , 2 5 + 3t, 5t) pertencente à reta r.

Passo 2

Para que A P r → seja perpendicular ao vetor diretor da reta r (V), podemos realizar o produto escalar entre A P r → e V, de forma a descobrir o valor de t:

A P r → = ( 1 5 - t - 1 ,   2 5   +   3 t ,   5 t - 1 )  

A P r → = ( - 4 5 - t ,   2 5   +   3 t ,   5 t - 1 )  

A P r → ∙ V = - 4 5 - t ∙ - 1 + 2 5   +   3 t ∙ 3 + 5 t - 1 ∙ 5

A P r → ∙ V = 4 5 + t + 6 5   +   9 t + 25 t - 5

A P r → ∙ V = - 3 + 35 t

Montando a expressão e resolvendo:

0   = - 3 + 35 t

3 = 35 t

t = 3 35

Passo 3

Substituindo em A P r → o valor de t encontrado:

A P r → = ( - 4 5 - 3 35 ,   2 5   +   3 ( 3 35 ) ,   5 ( 3 35 ) - 1 )  

A P r → = ( - 31 35 , 23 35 ,   - 4 7 )  

O qual é o vetor diretor da reta desejada. Utilizando o ponto A = (1, 0, 1), dito presente na reta, podemos encontrar a equação da reta:

(x, y, z) = (1 - 31 35 t ,   23 35 t ,   1 - 4 7 t )

Resposta

(x, y, z) = (1 - 31 35 t ,   23 35 t ,   1 - 4 7 t )

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