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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 3b

Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 e   v 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 .

Verificar quais das funções f : V   × V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .

b) f v 1 , v 2 = x 1 x 2 - y 1 y 2

Passo 1

Temos que verificar os 4 axiomas:

  • u ∙ v = v ∙ u
  • u v + w = u ∙ v + u ∙ w
  • α u ∙ v =   α ( u ∙ v )
  • u ∙ u ≥ 0 e u ∙ u = 0   somente se u = 0

Passo 2

  • v 1 ∙ v 2 = v 2 ∙ v 1

    • x 1 x 2 - y 1 y 2 = x 2 x 1 - y 2 y 1

  • v 1 v 2 + w = v 1 ∙ v 2 + v 1 ∙ w (seja w = ( x 3 , y 3 ) )

    • x 1 , y 1 x 2 + x 3 ,   y 2 + y 3 = x 1 , y 1 x 2 , y 2 + x 1 , y 1 x 3 , y 3

        x 1 x 2 + x 3 - y 1 y 2 + y 3 = x 1 x 2 - y 1 y 2 + x 1 x 3 - y 1 y 3     ( o k )

  • α v 1 ∙ v 2 =   α ( v 1 ∙ v 2 )

    • α x 1 , α y 1 x 2 ,   y 2 = α ( x 1 x 2 - y 1 y 2 )

    α x 1 x 2 - α y 1 y 2 =   α x 1 x 2 - y 1 y 2 ( o k )

  • v 1 ∙ v 1 ≥ 0 e v 1 ∙ v 1 = 0   somente se v 1 = 0

x 1 2 - y 1 2 ≥ 0

Observe que isso só ocorre se x 1 2 ≥ y 1 2 o que não é necessariamente verdade.

Então concluímos que a operação não define um produto interno.

Resposta

Não.

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Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .e) f v 1 , v 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + 1
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .c) f v 1 , v 2 = x 1 2 x 2 + y 1 y 2 2
Calcular o produto interno dos vetores u = 1,1ev = ( - 3,2 ) segundo cada produto do exercício anterior.
Sejam X = ( 1 / 2,0,1 / 2 ) e Y = ( a , 1 / 2 , - b ) . Para quais valores de a e b, o conjunto X , Y é ortonormal em relação ao produto interno usual de R 3 ?