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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 4b

Sejam V =   R 3   e os vetores u = x 1 , y 1 z 1 e   v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) .

Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R 3 . (para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam).

b )   u ∙ v = 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2

Passo 1

Temos os 4 axiomas:

  • u ∙ v = v ∙ u
  • u v + w = u ∙ v + u ∙ w
  • α u ∙ v =   α ( u ∙ v )
  • u ∙ u ≥ 0 e u ∙ u = 0   somente se u = 0

Passo 2

Vamos para os axiomas então:

  • u ∙ v = v ∙ u

    • 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2 = 3 x 2 x 1 + 5 y 2 y 1 + 2 z 1 z 2 (ok)

  • u v + w = u ∙ v + u ∙ w w = x 3 , y 3 , z 3

    • x 1 , y 1 , z 1 x 2 + x 3 ,   y 2 + y 3 ,   z 2 + z 3 = 3 x 1 x 2 + x 3 + 5 y 1 y 2 + y 3 + 2 z 1 ( z 2 + z 3 ) = 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2 +   3 x 1 x 3 + 5 y 1 y 3 + 2 z 1 z 3       ( o k )

  • α x 1 , y 1 , z 1 x 2 , y 2 , z 2 = α 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2

    • 3 α x 1 x 2 + 5 α y 1 y 2 + 2 α z 1 z 2 = α 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2   ( o k )  

  • u ∙ u ≥ 0 e u ∙ u = 0   somente se u = 0

x 1 , y 1 , z 1 x 1 , y 1 , z 1 = 3 x 1 2 + 5 y 1 2 + 2 z 1 2 ≥ 0

Veja que são três termos ao quadrado somando, então isso vai ser sempre maior ou igual a zero.

Além disso, só vai ser zero se u = 0 .

Logo, é um produto interno.

Resposta

Sim.

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Sejam u = x 1 ,y 1 ev = x 2 ,y 2 . Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no I R 2 : u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 u ∙ v = 2 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 u ∙ v = x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .h) f v 1 , v 2 = x 1 y 2 + x 2 y 1
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .d) f v 1 , v 2 = 4 x 1 x 2
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .f) f v 1 , v 2 = 3 x 1 x 2 - x 1 y 2 - x 2 y 1 +
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .g) f v 1 , v 2 = 4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +