Sejam V =   R 3   e os vetores u = x 1 , y 1 z 1 e   v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) .

Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R 3 . (para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam).

b )   u ∙ v = 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2

Passo 1

Temos os 4 axiomas:

  • u ∙ v = v ∙ u
  • u v + w = u ∙ v + u ∙ w
  • α u ∙ v =   α ( u ∙ v )
  • u ∙ u ≥ 0 e u ∙ u = 0   somente se u = 0

Passo 2

Vamos para os axiomas então:

  • u ∙ v = v ∙ u
  • 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2 = 3 x 2 x 1 + 5 y 2 y 1 + 2 z 1 z 2 (ok)

  • u v + w = u ∙ v + u ∙ w w = x 3 , y 3 , z 3
  • x 1 , y 1 , z 1 x 2 + x 3 ,   y 2 + y 3 ,   z 2 + z 3 = 3 x 1 x 2 + x 3 + 5 y 1 y 2 + y 3 + 2 z 1 ( z 2 + z 3 ) = 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2 +   3 x 1 x 3 + 5 y 1 y 3 + 2 z 1 z 3       ( o k )

  • α x 1 , y 1 , z 1 x 2 , y 2 , z 2 = α 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2
  • 3 α x 1 x 2 + 5 α y 1 y 2 + 2 α z 1 z 2 = α 3 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2   ( o k )  

  • u ∙ u ≥ 0 e u ∙ u = 0   somente se u = 0

x 1 , y 1 , z 1 x 1 , y 1 , z 1 = 3 x 1 2 + 5 y 1 2 + 2 z 1 2 ≥ 0

Veja que são três termos ao quadrado somando, então isso vai ser sempre maior ou igual a zero.

Além disso, só vai ser zero se u = 0 .

Logo, é um produto interno.

Resposta

Sim.

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