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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 2

Sejam X = ( 1 / 2   ,   0   ,   1 / 2 ) e Y = ( a , 1 / 2     , - b )   . Para quais valores de a e b, o conjunto X , Y é ortonormal em relação ao produto interno usual de R 3 ?

Passo 1

Salve galera, tudo certo? Partiu resolver esse exercício?

É bem simples, basta resolver um sistema e pronto. Para que o vetor seja ortonormal, o mesmo precisa ter 1 como resultado do produto interno dele com ele mesmo.

O exercício pede valores de ‘a’ e ‘b’ para que seja ortonormal, logo vamos pressupor que o vetor X já é ortonormal, confira na calcularadora, ele é.

Passo 2

Vamos agora fazer o produto interno do Y e igualar o mesmo a 1.

Y * Y = 1 → a , 1 2   , - b * a , 1 2   , - b = 1 a 2 + 1 2 + b 2 = 1

A gente só tem uma equação não tem muito o que fazer com ela, e agora? Basta a gente usar a equação da ortogonalidade, afinal sabemos que um vetor ortonormal é ortogonal também.

Assim a segunda equação vai ser

X * Y = 1 2 ,   0   , 1 2 * a , 1 2   , - b = 0 =   a 2 - b 2 → a = b

Passo 3

Agora basta substituir na primeira equação que obtivemos e tudo vai estar resolvido.

a 2 + 1 2 + b 2 = 1

a 2 + 1 2 - a 2 = 1 → 2 a 2 = 1 - 1 2

2 a 2 = 1 2 a = 1 4

a = 1 2

Resposta

a = b = 1 2

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