Exercícios de Axiomas do Produto Interno - Lista de Exercícios Resolvida

Considere o espaço vetorial real . Verifique se a aplicação abaixo define um produto interno em .

Seja o espaço linear real das matrizes com entradas reais. Mostre que

define um produto interno em , onde , o traço de , é a soma dos elementos da diagonal principal de .

Encontre o produto interno entre os vetores e .

No espaço linear real de todos os polinômios reais, determine se

é um produto interno, e, em caso negativo, indique quais dos axiomas da definição de produto interno são violados.

Considere o espaço vetorial e a matriz diagonal dada por:

.

Mostre que a aplicação

define um produto interno em , considere os elementos de representados na forma de vetor coluna.

Considere o espaço vetorial real . Mostre que a aplicação

representa um produto interno.

Sejam e os vetores e .

Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o .

Para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam.

Seja a função

Mostre que é um produto interno em

Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.

(d) A função definida por é produto interno sobre

Considere . Sejam e . Verifique se as funções abaixo determinam produtos internos sobre V.

(a)

(b)

Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contraexemplo para as falsas.

(b) Sejam e vetores em . A função

Define um produto interno em

Q12. Considere as seguintes afirmações:

(i) a função definida por

Para quaisquer , é um produto interno em ;

(ii) a função definida por

Para quaisquer , é um produto interno em ;

(iii) a função definida por

Para quaisquer , é um produto interno em .

Assinale a alternativa correta:

a) apenas as afirmações (i) e (ii) são verdadeiras;

b) apenas as afirmações (i) e (iii) são verdadeiras;

c) apenas a afirmação (ii) é verdadeira;

d) apenas a afirmação (i) é verdadeira;

e) apenas as afirmações (ii) e (iii) são verdadeiras.

Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contraexemplo para as falsas.

b) Sejam e polinômios em . Então

Define um produto interno em

Denote por o produto interno euclidiano de dois vetores e de .

Considere as afirmativas:

1. A transformação definida por é linear.
2. Seja . A transformação definida por

1. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
2. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
3. (I) é falsa e (II) é falsa.
4. (I) é falsa e (II) é verdadeira.

Seja o espaço vetorial dos polinômios da forma e seja o espaço vetorial dos polinômios da forma . Em ambos os espaços, defina a forma bilinear . Considere as afirmações:

1. é um produto interno em .
2. é um produto interno em .

Ambas são verdadeiras.

é verdadeira, é falsa.

Ambas são falsas.

é falsa, é verdadeira.