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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 3a

Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 e   v 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 .

Verificar quais das funções f : V   × V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .

  1. f v 1 , v 2 = 2 x 1 x 2 + 3 y 1 y 2

Passo 1

Temos que verificar os 4 axiomas:

  • u ∙ v = v ∙ u
  • u v + w = u ∙ v + u ∙ w
  • α u ∙ v =   α ( u ∙ v )
  • u ∙ u ≥ 0 e u ∙ u = 0   somente se u = 0

Passo 2

  • v 1 ∙ v 2 = v 2 ∙ v 1

    • 2 x 1 x 2 + 3 y 1 y 2 = 2 x 2 x 1 + 3 y 2 y 1 (ok)

  • v 1 v 2 + w = v 1 ∙ v 2 + v 1 ∙ w (seja w = ( x 3 , y 3 ) )

    • x 1 , y 1 x 2 + x 3 ,   y 2 + y 3 = x 1 , y 1 x 2 , y 2 + x 1 , y 1 x 3 , y 3

    2 x 1 x 2 + x 3 + 3 y 1 y 2 + y 3 = 2 x 1 x 2 + 3 y 1 y 2 + 2 x 1 x 3 + 3 y 1 y 3       ( o k )  

  • α v 1 ∙ v 2 =   α ( v 1 ∙ v 2 )

    • α x 1 , α y 1 x 2 ,   y 2 = α ( 2 x 1 x 2 + 3 y 1 y 2 )

    2 α x 1 x 2 + 3 α y 1 y 2 =   α 2 x 1 x 2 + 3 y 1 y 2 ( o k )

  • v 1 ∙ v 1 ≥ 0 e v 1 ∙ v 1 = 0   somente se v 1 = 0

2 x 1 2 + 3 y 1 2 ≥ 0     o k

Então concluímos que a operação define um produto interno.

Resposta

Sim.

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Sejam u = x 1 ,y 1 ev = x 2 ,y 2 . Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no I R 2 : u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2 u ∙ v = 2 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 u ∙ v = x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .h) f v 1 , v 2 = x 1 y 2 + x 2 y 1
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .d) f v 1 , v 2 = 4 x 1 x 2
Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .f) f v 1 , v 2 = 3 x 1 x 2 - x 1 y 2 - x 2 y 1 +