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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 1

Sejam u = x 1 ,   y 1 e   v = x 2 ,   y 2 . Mostrar que cada operação a seguir define um produto interno no I R 2 :

  1. u ∙ v = x 1 x 2 + y 1 y 2
  2. u ∙ v = 2 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2
  3. u ∙ v = x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + 2 y 1 y 2

Passo 1

  1. Vamos ter que provar cada axioma que define os produtos internos.
  • u ∙ v = v ∙ u

    • x 1 x 2 + y 1 y 2 = x 2 x 1 + y 2 y 1 (ok)

  • u v + w = u ∙ v + u ∙ w (seja w = ( x 3 , y 3 ) )

    • x 1 , y 1 x 2 + x 3 ,   y 2 + y 3 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + x 1 x 3 + x 1 y 3

    x 1 x 2 + x 1 x 3 + y 1 y 2 + y 1 y 3 =   x 1 x 2 + y 1 y 2 + x 1 x 3 + x 1 y 3 (ok)

  • α u ∙ v =   α ( u ∙ v )

    • α x 1 ,   α y 1 ∙ x 2 , y 2 = α ( x 1 x 2 + y 1 y 2 )

    α x 1 x 2 + α y 1 y 2 = α 1 x 2 + α y 1 y 2 (ok)

  • u ∙ u ≥ 0 e u ∙ u = 0   somente se u = 0

    • x 1 , y 1 ∙ x 1 , y 1 = x 1 2 + y 1 2 ≥ 0 (ok)

    Como satisfez a todos os axiomas, a operação define um produto interno.

    Passo 2

  • Vamos fazer a mesma coisa do item a):
  • u ∙ v = v ∙ u

    • 2 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 = 2 x 2 x 1 + 5 y 2 y 1   ( o k )

  • u v + w = u ∙ v + u ∙ w (seja w = ( x 3 , y 3 ) )

    • x 1 , y 1 x 2 + x 3 ,   y 2 + y 3 = 2 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 x 1 x 3 + 5 y 1 y 3  

    2 x 1 x 2 + x 3 + 5 y 1 y 2 + y 3 = 2 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 + 2 x 1 x 3 + 5 y 1 y 3   ( o k )  

  • α u ∙ v =   α ( u ∙ v )

    • α x 1 , α y 1 x 2 , y 2 = α ( 2 x 1 x 2 + 5 y 1 y 2 )

    2 α x 1 x 2 + 5 α y 1 y 2 = 2 α x 1 x 2 + 5 α y 1 y 2       ( o k )

  • u ∙ u ≥ 0 e u ∙ u = 0   somente se u = 0

    • x 1 , y 1 ∙ x 1 , y 1

    2 x 1 2 + 5 y 1 2 ≥ 0     ( o k )

    Como satisfez a todos os axiomas, a operação define um produto interno.

    Passo 3

  • Vamos de novo...
  • u ∙ v = v ∙ u

    • x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + 2 y 1 y 2 = x 2 x 1 + y 2 x 1 + y 1 x 2 + 2 y 2 y 1 (ok)

  • u v + w = u ∙ v + u ∙ w (seja w = ( x 3 , y 3 ) )

    • x 1 , y 1 x 2 + x 3 ,   y 2 + y 3

    = x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + 2 y 1 y 2 + x 1 x 3 + x 1 y 3 + x 3 y 1 + 2 y 1 y 3 (ok)

  • α u ∙ v =   α ( u ∙ v )

    • α x 1 ,   α y 1 x 2 , y 2 = α ( x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + 2 y 1 y 2 )

    α x 1 x 2 + α x 1 y 2 + α x 2 y 1 + 2 α y 1 y 2 ) = α x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + 2 y 1 y 2 ( o k )  

  • u ∙ u ≥ 0 e u ∙ u = 0   somente se u = 0

x 1 x 1 + x 1 y 1 + x 1 y 1 + 2 y 1 y 1

x 1 2 + 2 x 1 y 1 + 2 y 1 2 (0k)

Então, provamos que a operação define um produto interno.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .g) f v 1 , v 2 = 4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +
Sejam V =R 3 e os vetores u = x 1 , y 1 z 1 ev = ( x 2 , y 2 , z 2 ) .Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R 3 . (para aquelas que não são produtos internos, citar os ax
Sejam V =R 3 e os vetores u = x 1 , y 1 z 1 ev = ( x 2 , y 2 , z 2 ) .Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R 3 . (para aquelas que não são produtos internos, citar os ax
Sejam V =R 3 e os vetores u = x 1 , y 1 z 1 ev = ( x 2 , y 2 , z 2 ) .Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R 3 . (para aquelas que não são produtos internos, citar os ax
Sejam V =R 3 e os vetores u = x 1 , y 1 z 1 ev = ( x 2 , y 2 , z 2 ) .Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R 3 . (para aquelas que não são produtos internos, citar os ax