Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 24
Encontre um operador linear cujo núcleo é gerado por e .
Passo 1
Queremos achar uma transformação linear de em cujo núcleo seja
Assim, temos que achar uma transformação tal que .
Antes de começar a resolver esse problema é importante dizer que a resposta não é única! Existem infinitas transformações lineares com essa propriedade.
Temos que . Assim, vamos escolher um vetor arbitrário que não esteja no núcleo, como por exemplo . Desta forma, é uma base para .
O que queremos fazer é escrever um vetor genérico como combinação linear dos vetores de :
Assim,
Passo 2
Somando a primeira equação com a segunda:
Substituindo isso na primeira equação:
Fazendo o mesmo na última equação:
Logo,
Passo 3
Por fim, podemos escrever:
Como , temos que
Agora basta escolher, arbitrariamente . Para deixar a expressão mais simples, vou escolher :
É importanto mencionar que essa resposta não é única!