Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 e v 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V × V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V . f) f v 1 , v 2 = 3 x 1 x 2 - x 1 y 2 - x 2 y 1 + 3 y 1 y 2 Passo 1Temos que verificar os 4 axiomas: u ∙ v = v ∙ u u v + w = u ∙ v + u ∙ w α u ∙ v = α ( u ∙ v ) u ∙ u ≥ 0 e u ∙ u = 0 somente se u = 0 Passo 2 v 1 ∙ v 2 = v 2 ∙ v 1 3 x 1 x 2 - x 1 y 2 - x 2 y 1 + 3 y 1 y 2 = 3 x 2 x 1 - x 2 y 1 - x 1 y 2 + 3 y 2 y 1 ( o k ) v 1 v 2 + w = v 1 ∙ v 2 + v 1 ∙ w (seja w = ( x 3 , y 3 ) ) x 1 , y 1 x 2 + x 3 , y 2 + y 3 = x 1 , y 1 x 2 , y 2 + x 1 , y 1 x 3 , y 3 3 x 1 x 2 + x 3 - x 1 y 2 + y 3 - x 2 + x 3 y 1 + 3 y 1 y 2 + y 3 = 3 x 1 x 2 - x 1 y 2 - x 2 y 1 + 3 y 1 y 2 + 3 x 1 x 3 - x 1 y 3 - x 3 y 1 + 3 y 1 y 3 (ok) α v 1 ∙ v 2 = α ( v 1 ∙ v 2 ) α x 1 , α y 1 x 2 , y 2 = α ( 3 x 1 x 2 - x 1 y 2 - x 2 y 1 + 3 y 1 y 2 ) 3 α x 1 x 2 - α x 1 y 2 - α x 2 y 1 + 3 α y 1 y 2 = α 3 x 1 x 2 - x 1 y 2 - x 2 y 1 + 3 y 1 y 2 ( o k ) v 1 ∙ v 1 ≥ 0 e v 1 ∙ v 1 = 0 somente se v 1 = 0 3 x 1 2 - x 1 y 1 - x 1 y 1 + 3 y 1 2 = 0 3 x 1 2 - 2 x 1 y 1 + 3 y 1 2 = 0 Não existem valores para v 1 ≠ 0 que satisfazem a equação. Além disso: 3 x 1 2 + 3 y 1 2 > 2 x 1 y 1 Então concluímos que a operação define um produto interno. RespostaSim.MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosSejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .d) f v 1 , v 2 = 4 x 1 x 2Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .g) f v 1 , v 2 = 4 x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 +Sejam V =R 3 e os vetores u = x 1 , y 1 z 1 ev = ( x 2 , y 2 , z 2 ) .Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R 3 . (para aquelas que não são produtos internos, citar os axSejam V =R 3 e os vetores u = x 1 , y 1 z 1 ev = ( x 2 , y 2 , z 2 ) .Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R 3 . (para aquelas que não são produtos internos, citar os axVer TambémVer Livro Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo WinterleVer tudo sobre Produto InternoLista de exercícios de Axiomas do Produto InternoVer exercício 2.10 - 26cVer exercício 2.10 - 28