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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 19

Mostre que a distância entre duas retas não paralelas r 1 : x , y , z = ( x 1 + t a 1 , y 1 + t b 1 , z 1 + t c 1 ) e r 2 : x , y , z = ( x 2 + t a 2 , y 2 + t b 2 , z 2 + t c 2 ) é

det ⁡ x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 det ⁡ b 1 c 1 b 2 c 2 2 + det ⁡ a 1 c 1 a 2 c 2 2 + det ⁡ a 1 b 1 a 2 b 2 2

Passo 1

Eaew, firme e forte? No ânimo para mais uma questãozinha?

Bora lá! Sob as condições dadas no enunciado, temos que as duas retas não são paralelas! As retas irão definir dois planos paralelos, um deles é o plano que contém r 1 e é paralelo a r 2 , chamado de π 1 e o outro plano contém r 2 e é paralelo a r 1 , chamaremos de π 2 . O vetor N = V 1 × V 2 é normal a ambos os planos, em que V 1 e V 2 são os vetores diretores de r 1 e r 2 respectivamente. Portanto, conseguimos calcular a distância da seguinte forma;

d i s t r 1 , r 2 = d i s t π 1 , π 2 = d i s t π 1 , P 2 = P 1 P 2 → ⋅ N N = P 1 P 2 → ⋅ ( V 1 × V 2 ) V 1 × V 2

Em que P 1 e P 2 são os pontos de r 1 e r 2 e V 1 e V 2 são vetores diretores de r 1 e r 2 , respectivamente.

Vamos tentar aplicar isso, belezinha?

Passo 2

A primeira coisa é identificar os vetores diretores como:

V 1 = a 1 , b 1 , c 1   e   V 2 = ( a 2 , b 2 , c 2 )

De forma que:

N = V 1 × V 2

Como no numerador temos um produto misto, vamos identificar pontos que pertencem a cada plano, beleza?

Passo 3

Como a reta r 1 é contida pelo plano π 1 , um ponto que pertence à r 1 . O mesmo vale para o plano π 2 . Ou seja, temos os dois pontos:

P 1 = x 1 , y 1 , z 1   e   P 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 )

E portanto, temos o seguinte vetor:

P 1 P 2 → = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 )

O produto misto é então da forma:

P 1 P 2 → ⋅ V 1 × V 2 = det ⁡ x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2  

Agora precisamos obter N . Vamos lá!

Passo 4

Para esta parte da questão é conveniente utilizar a seguinte definição de um produto vetorial:

Sejam V = ( v 1 , v 2 , v 3 ) e W = ( w 1 , w 2 , w 3 ) vetores no espaço. Então o produto vetorial V × W é dado por

V × W = det ⁡ v 2 v 3 w 2 w 3 , - det ⁡ v 1 v 3 w 1 w 3 , det ⁡ v 1 v 2 w 1 w 2

E portanto, temos que:

V 1 × V 2 = det ⁡ b 1 c 1 b 2 c 2 , - det ⁡ a 1 c 1 a 2 c 2 , det ⁡ a 1 b 1 a 2 b 2

Agora só precisamos utilizar a definição de norma! Bora lá!

Passo 5

Temos que:

V 1 × V 2 = det ⁡ b 1 c 1 b 2 c 2 2 + - det ⁡ a 1 c 1 a 2 c 2 2 + det ⁡ a 1 b 1 a 2 b 2 2 = →

→   = det ⁡ b 1 c 1 b 2 c 2 2 + det ⁡ a 1 c 1 a 2 c 2 2 + det ⁡ a 1 b 1 a 2 b 2 2

Resumindo tudo que obtivemos, temos que:

d i s t r 1 , r 2 = det ⁡ x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2   det ⁡ b 1 c 1 b 2 c 2 2 + det ⁡ a 1 c 1 a 2 c 2 2 + det ⁡ a 1 b 1 a 2 b 2 2

Como queríamos demonstrar! A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos!

Exercícios de Livros Relacionados

O vértice de uma pirâmide regular é P = 2 , 2,0 e sua base é um quadrado A B C D contido no plano π : x - z = 0 . Sendo A = 0,2 , 0 , determine os outros três vértices.
Determinar o ângulo formado pela retar : {[[y = - 2 x],[z = 2 x + 1]]) E o plano pi : x - y + 5 = 0 .
Determinar o ângulo que a reta r : { x - 2 3 = y - 4 = z + 1 5 Forma com o olnao π : 2 x - y + 7 z - 1 = 0 .
Seja a reta: r : x = 3 + t y = 1 - 2 t z = - 1 + 2 t a) Quais as equações reduzidas da projeção de r sobre o plano x O y ? E Sobre o plano x O z ? b) Qual o ângulo que r forma com o plano x O y ?
Determine uma equação cartesiana do plano que passa pelo ponto A = ( 2,1 , 0 ) e é perpendicular aos planos x + 2 y - 3 z + 2 = 0 e 2 x - y + 4 z - 1 = 0 .