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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 14

Sejam u = ( x 1 , x 2 ) e v = ( y 1 , y 2 ) vetores genéricos do R 2 e M = a 1 1 a 1 2 a 2 1 a 22 ∈   M n ( R ) .

Definamos u , v = a 11 x 1 y 1 + a 1 2 x 1 y 2 + a 2 1 x 2 y 1 + a 22 x 2 y 2 .

  1. Mostrar que o produto assim definido satisfaz as duas primeiras condições da definição de produto interno;
  2. Mostrar que a condição c) da definição de produto interno é válida se, e somente se, M é simétrica.
  3. Qual a matriz M que leva ao produto interno usual do R 2 ?

Passo 1

  1. Mostrar que o produto assim definido satisfaz as duas primeiras condições da definição de produto interno;

    2. Para a propriedade (a) da definição de produto interno vamos considerar os vetores

    u   =   ( x 1 ,   x 2 ) ; v   =   ( y 1   ,   y 2 )   ;   w   =   ( z 1   ,   z 2 ) .

    Assim,

    v   +   w   =   ( y 1   + z 1 ,   y 2   +   z 2 )

    (vamos usar essa informação jájá!) Beleza?

    Então,

    < u ,   v   +   w >   = a 11 x 1 ( y 1 + z 1 ) + a 12 x 1 ( y 2   +   z 2 ) + a 21 x 2   ( y 1   + z 1 ) + a 22 x 2   ( y 2   +   z 2 )  

    < u ,   v + w >   =   a 11 x 1 y 1   +   a 11 x 1 z 1 +   a 12 x 1 y 2 + a 12 x 1 z 2 + a 12 x 2 y 1 + a 21 x 2 z 1   + a 22 x 2 y 2 + a 22 x 2 z 2

    < u ,   v + w >   =   ( a 11 x 1 y 1 + a 12 x 1 y 2 +   a 21 x 2 y 1 + a 22 x 2 y 2 )   +   ( a 11 x 1 z 1 + a 12 x 1 z 2 +   a 21 x 2 z 1 + a 22 x 2 z 2 )   =   < u ,   v >   +   < u ,   w >  

    Portanto, < u ,   v   +   w >   =   < u ,   v >   +   < u ,   w >

    Para a propriedade (b): β u   =   ( β x 1   ,   β x 2 )  

    < β u ,   v >   = a 11 ( β x 1 ) y 1   + a 12 ( β x 1 )   y 2 + a 21 ( β x 2 ) y 1 + a 22 ( β x 2 ) y 2  

    < β u ,   v >   =   β ( a 11 x 1 y 1 + a 12   x 1   y 2   + a 21   x 2 y 1   + a 22 x 2 y 2 )  

    Portanto, < β u ,   v >   = β < u ,   v > .

    Passo 2

  2. Mostrar que a condição c) da definição de produto interno é válida se, e somente se, M é simétrica.

Primeira coisa que precisamos saber é que, pela definição dada no enunciado,

< u ,   v >   = a 11 x 1 y 1 + a 12 x 1 y 2 + a 21 x 2 y 1 + a 22 x 2 y 2

e

< v , u >   =   a 11 x 1 y 1   + a 12 y 1 x 2   + a 21 y 2 x 1 + a 22 y 2 x 2  

Beleza?

Para que ocorra (c):

< u ,   v >   =   < v ,   u >  

a 12 x 1 y 2 + a 21 x 2 y 1   =   a 12 y 1 x 2   + a 21 y 2 x 1  

(os termos a 11 x 1 y 1   e   a 22 x 2 y 2   já são iguais na igualdade, então vamos trabalhar com os outros termos)

x 1   y 2   ( a 12 - a 21 ) + x 2   y 1 ( a 21 - a 12 )   =   0  

Assim,

( a 12 - a 21 ) x 1   y 2 - x 2   y 1 =   0   ⟹   a 12 - a 21 =   0   o u   x 1   y 2 = x 2   y 1

Queremos que tal igualdade seja válida para qualquer x 1 ,   x 2 ,   y 1 ,   y 2 . Certo?

Logicamente, não são todas as quadruplas que satisfazem esse sistema.

Portanto, nossa única opção é

a 12 - a 21 =   0   ⟹ a 12 = a 21

que caracteriza uma matriz simétrica.

Show de bola?!

Passo 2

  1. Qual a matriz M que leva ao produto interno usual do R 2 ?

Note que o produto interno usual do R 2 é dado por

u , v = x 1 y 1 + x 2 y 2

E o produto interno que temos é

u , v = a 11 x 1 y 1 + a 12 x 1 y 2 + a 21 x 2 y 1 + a 22 x 2 y 2

Então note que se

a 11 = 1

a 12 = 0

a 21 = 0

a 22 = 1

Teremos o produto interno usual do R 2 .

Portanto, a matriz M que leva ao produto interno usual do R 2 é a matriz

M = 1 0 0 1

Show de bola?!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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