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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.1 - Ex. 3

Demonstrar que o conjunto { 1 , e^x , e^(2 x) } de vetores de C [ (0,1) ] é L.I.

Passo 1

Vamos lá! Para demonstrar que o conjunto { 1 , e^x , e^(2 x) } de vetores de C [ (0,1) ] é L.I, precisamos calcular o Wronskiano.

Lembrando que o Wronskiano nada mais é do que:

W (f_1 , f_2 , ... , f_n) = |[[f_1,f_2,...,f_n],[f '_1,f '_2,...,f '_n],[vdots,vdots,ddots,vdots],[f_1^(( n - 1 )),f_2^(( n - 1 )),...,f_n^(( n - 1 ))]]|

Beleza?

Então precisaremos determinar as derivadas:

f_1 = 1 , f '_1 = 0 , f ' '_1 = 0

f_2 = e^x , f '_2 = e^x , f ' '_2 = e^x

f_3 = e^(2 x) , f '_3 = 2 e^(2 x) , f ' '_3 = 4 e^(2 x)

Assim,

W (1 , e^x , e^(2 x)) = |[[1,e^x,e^(2 x)],[0,e^x,2 e^(2 x)],[0,e^x,4 e^(2 x)]]|

Calculando o determinante, teremos

W (1 , e^x , e^(2 x)) = 4 e^(3 x) + 0 + 0 - 0 - 2 e^(3 x) - 0 = 4 e^(3 x) - 2 e^(3 x) = 2 e^(3 x)

Perceba que 2 e^(3 x) nunca se anula. Portanto, podemos garantir que o conjunto é Linearmente Independente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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