Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas propostos - Ex. 8b
Sejam os vetores e .
b) Utilizar o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo ao terceiro vetor.
Passo 1
O que vamos fazer aqui é calcular os produtos vetoriais
E mostrar que o resultado desses produtos vetoriais sempre vai ser paralelo ao terceiro vetor, ou seja, resultará em um vetor na mesma direção do terceiro.
Lembrando que, embora, o produto vetorial não seja comutativo, não precisamos fazer o contrário pois o que muda quando fazemos o contrário é o sentido do vetor, sua direção permanece a mesma e portanto o resultado continuará sendo paralelo ao terceiro vetor.
Por exemplo, e possuem a mesma direção, só muda o sentido ;)
Passo 2
Vamos começar calculando , esse produto é dado pelo determinante:
Então,
E agora pra sabermos se esse resultado é paralelo ao terceiro vetor, ou seja, paralelo a ? Para eles serem paralelos, deve existir tal que
Igualando as coordenadas dos dois lados, encontramos que , logo, existe que satisfaça a nossa condição e portanto os vetores são paralelos :)
Passo 3
Vamos calcular , esse produto é dado pelo determinante:
Então,
E agora pra sabermos se esse resultado é paralelo ao terceiro vetor, ou seja, paralelo a ? Para eles serem paralelos, deve existir tal que
Igualando as coordenadas dos dois lados, encontramos que , logo, existe que satisfaça a nossa condição e portanto os vetores são paralelos :)
Passo 4
Vamos calcular , esse produto é dado pelo determinante:
Então,
E agora pra sabermos se esse resultado é paralelo ao terceiro vetor, ou seja, paralelo a ? Para eles serem paralelos, deve existir tal que
Igualando as coordenadas dos dois lados, encontramos que , logo, existe que satisfaça a nossa condição e portanto os vetores são paralelos :)
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)