Sejam os vetores u → = 1 ,   - 2 ,   1 ,   v → = ( 1 ,   1 ,   1 ) e w → = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) .

b) Utilizar o produto vetorial para mostrar que o produto vetorial de quaisquer dois deles é paralelo ao terceiro vetor.

Passo 1

O que vamos fazer aqui é calcular os produtos vetoriais

u → × v →

u → × w →

v → × w →

E mostrar que o resultado desses produtos vetoriais sempre vai ser paralelo ao terceiro vetor, ou seja, resultará em um vetor na mesma direção do terceiro.

Lembrando que, embora, o produto vetorial não seja comutativo, não precisamos fazer o contrário pois o que muda quando fazemos o contrário é o sentido do vetor, sua direção permanece a mesma e portanto o resultado continuará sendo paralelo ao terceiro vetor.

Por exemplo, u → × v → e v → × u → possuem a mesma direção, só muda o sentido ;)

Passo 2

Vamos começar calculando u → × v → = ( 1 ,   - 2 ,   1 ) × ( 1 ,   1 ,   1 ) , esse produto é dado pelo determinante:

i → j → k → 1 - 2 1 1 1 1 = - 3 i → + 0 j → + 3 k →

Então, u → × v → = ( - 3 ,   0 ,   3 )

E agora pra sabermos se esse resultado é paralelo ao terceiro vetor, ou seja, paralelo a w → = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) ? Para eles serem paralelos, deve existir α tal que

- 3 ,   0 ,   3 = α . ( 1 ,   0 ,   - 1 )

- 3 ,   0 ,   3 = α ,   0 ,   - α

Igualando as coordenadas dos dois lados, encontramos que α = - 3 , logo, existe α que satisfaça a nossa condição e portanto os vetores são paralelos :)

Passo 3

Vamos calcular u → × w → = ( 1 ,   - 2 ,   1 ) × ( 1 ,   0 ,   - 1 ) , esse produto é dado pelo determinante:

i → j → k → 1 - 2 1 1 0 - 1 = 2 i → + 2 j → + 2 k →

Então, u → × w → = ( 2 ,   2 ,   2 )

E agora pra sabermos se esse resultado é paralelo ao terceiro vetor, ou seja, paralelo a v → = ( 1 ,   1 ,   1 ) ? Para eles serem paralelos, deve existir α tal que

2 ,   2 ,   2 = α . ( 1 ,   1 ,   1 )

2 ,   2 ,   2 = α ,   α ,   α

Igualando as coordenadas dos dois lados, encontramos que α = 2 , logo, existe α que satisfaça a nossa condição e portanto os vetores são paralelos :)

Passo 4

Vamos calcular v → × w → = ( 1 ,   - 2 ,   1 ) × ( 1 ,   0 ,   - 1 ) , esse produto é dado pelo determinante:

i → j → k → 1 1 1 1 0 - 1 = - 1 i → + 2 j → - 1 k →

Então, v → × w → = ( - 1 ,   2 ,   - 1 )

E agora pra sabermos se esse resultado é paralelo ao terceiro vetor, ou seja, paralelo a v → = ( 1 ,   - 2 ,   1 ) ? Para eles serem paralelos, deve existir α tal que

- 1 ,   2 ,   - 1 = α . ( 1 ,   - 2 ,   1 )

- 1 ,   2 ,   - 1 = α ,   - 2 α ,   α

Igualando as coordenadas dos dois lados, encontramos que α = - 1 , logo, existe α que satisfaça a nossa condição e portanto os vetores são paralelos :)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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