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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas propostos - Ex. 8a

Sejam os vetores u → = 1 ,   - 2 ,   1 ,   v → = ( 1 ,   1 ,   1 ) e w → = ( 1 ,   0 ,   - 1 ) .

a) Utilizar o produto escalar para mostrar que os vetores são, dois a dois, ortogonais.

Passo 1

O que vamos fazer aqui é calcular os produtos escalares

u → . v →

u → . w →

v → . w →

E mostrar que todos eles vão resultar em 0, pois sabemos que se um produto escalar é igual a 0, os vetores são ortogonais hehe

Lembrando que: uma vez fazendo u → . v → , por exemplo, não precisamos fazer também v → . u → , pois o produto escalar tem a propriedade de ser comutativo ;)

Passo 2

Vamos começar calculando u → . v → :

u → . v → = 1 ,   - 2 ,   1 . ( 1 ,   1 ,   1 )

u → . v → = 1.1 - 2.1 + 1.1

u → . v → = 1 - 2 + 1

u → . v → = 0

Belezaaa, já provamos que esse primeiro produto escalar é 0!! Agora vamos provar os outros.

Para u → . w → :

u → . w → = 1 ,   - 2 ,   1 . ( 1 ,   0 ,   - 1 )

u → . w → = 1.1 - 2.0 + 1 . ( - 1 )

u → . w → = 1 - 1

u → . w → = 0

Boaaa, agora o último:

v → . w → = 1 ,   1 ,   1 . ( 1 ,   0 ,   - 1 )

v → . w → = 1.1 + 1.0 + 1 . ( - 1 )

v → . w → = 1 - 1

v → . w → = 0

Aeeee, provamos que os três produtos escalares deram 0, e portanto, os vetores do enunciado são dois a dois ortogonais :P

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Considerando a Figura 3.13, calculard) E C → × E A →
Considerando a Figura 3.13, calcularc) A B → × A C →
Considerando a Figura 3.13, calcularf) G B → × A F →
Considerando a Figura 3.13, calculare) O A → . ( O C → × O E → )
Sejam os vetores u → = 1 ,- 2 ,1 ,v → = ( 1 ,1 ,1 ) e w → = ( 1 ,0 ,- 1 ) .c) Mostre que u → × v → × w → = 0 → .