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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.3 - Ex. 15

Sejam V 1 , … , V n vetores de um espaço vetorial V. Mostre que um vetor V ∈ V 1 , … , V n pode ser escrito de maneira única como combinação linear de V 1 , … , V n se e somente se, V 1 , … , V n são linearmente independentes.

Passo 1

E aí belezinha? Vamos resolver mais um exercício de álgebra.

Primeiro de tudo, para que V seja CL de V 1 , . . , V k vamos escrever a definição da combinação linear, para ver se é possível a primeira vista.

Passo 2

Ficaremos então com a seguinte expressão

a V 1 + b V 2 + … + z V n = 0

Como no enunciado diz para mostrar que ele só pode ser escrito de uma forma única se eles forem linearmente independentes, pense o seguinte.

A única forma de um vetor ser linearmente independente é que a única solução seja a trivial, com todos coeficientes sendo iguais a zero.

Caso algum valor dos coeficientes seja diferente de 0, isso implicaria que ele seria LD e os vetores LD tem várias possíveis formas de serem escritos.

Passo 3

Logo para que tenha uma maneira única do vetor ser escrito, o mesmo precisa necessariamente ser LI. Repare no exemplo de um dos coeficiente diferentes de zero que implicaria que o vetor é LD. (abaixo a ≠ 0 )

a V 1 + b V 2 + … + z V n = 0

V 1 = - ( b V 2 + … + z V n ) a

Nesse caso acima, o vetor seria LD, o que implicaria várias possíveis soluções. Como o mesmo é LI a única maneira de escrever o mesmo como combinação linear dos outros vetores é com todos coeficiente iguais a zero.

Resposta

Caso o vetor seja LD, existirão várias possíveis formas de escrever o mesmo, logo ele só pode ser LI.

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