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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 3.10 - Ex. 4c

Sejam V =   R 3   e os vetores u = x 1 , y 1 z 1 e   v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) .

Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre o R 3 . (para aquelas que não são produtos internos, citar os axiomas que não se verificam).

c )   u ∙ v = 2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2

Passo 1

Temos os 4 axiomas:

  • u ∙ v = v ∙ u
  • u v + w = u ∙ v + u ∙ w
  • α u ∙ v =   α ( u ∙ v )
  • u ∙ u ≥ 0 e u ∙ u = 0   somente se u = 0

Passo 2

Vamos para os axiomas então:

  • u ∙ v = v ∙ u

    • 2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2 = 2 x 2 2 y 2 2 + 3 x 1 2 y 1 2 + z 2 2 z 1 (não)

  • u v + w = u ∙ v + u ∙ w w = x 3 , y 3 , z 3

    • x 1 , y 1 , z 1 x 2 + x 3 ,   y 2 + y 3 ,   z 2 + z 3

    = 2 x 1 2 x 2 + x 3 + 3 x 2 + x 3 2 y 2 + y 3 + z 1 2 ( z 2 + z 3 )

    = 2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2 + 2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 3 2 y 3 2 + z 1 2 z 3   ( n ã o )

  • ( α x 1 , y 1 , z 1 ) x 2 , y 2 , z 2

    • α x 1 ,   α x 2 ,   α x 3 x 2 , y 2 , z 2 = 2 α x 1 2 α y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 2 2 z 1

                                      ≠ α 2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 2 2 y 2 2 + z 1 2 z 2 (não confere)

  • u ∙ u ≥ 0 e u ∙ u = 0   somente se u = 0

x 1 , y 1 , z 1 x 1 , y 1 , z 1 = 2 x 1 2 y 1 2 + 3 x 1 2 y 1 2 + z 1 2 z 1 ≥ 0 (ok)

Veja que são três termos ao quadrado somando, então isso vai ser sempre maior ou igual a zero. Além disso, só vai ser zero se u = 0 .

Porém, os axiomas 1, 2 e 3 não conferiram, então não é produto interno.

Resposta

Não. Falha nos axiomas 1, 2 e 3.

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Sejam os vetores v 1 = x 1 , y 1 ev 2 = x 2 , y 2 de V = R 2 . Verificar quais das funções f : V× V → R , definidas abaixo, são produtos internos em V .c) f v 1 , v 2 = x 1 2 x 2 + y 1 y 2 2
Calcular o produto interno dos vetores u = 1,1ev = ( - 3,2 ) segundo cada produto do exercício anterior.
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