Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 29.Problemas - Ex. 12
Qual é o simétrico do ponto em relação ao plano ?
Passo 1
Saudações galerinha, tudo bem? Temos o ponto:
Queremos saber o simétrico desse ponto em relação ao plano:
Na prática o ponto simétrico está a uma distância do plano dado e do lado oposto temos o ponto a essa mesma distância.
Só organizando as nossas informações, plano é:
E o vetor normal é:
Passo 2
A primeira coisa que temos que fazer é tentar encontrar a projeção ortogonal do ponto em relação ao plano:
Para isso, vamos considerar que essa projeção é do tipo . Então, o vetor saindo de até deve ter a mesma direção do vetor normal do plano:
Agora, vamos calcular o outro vetor:
Mas já que esse vetor tem que ser múltiplo do vetor normal ao plano. Lembrando que podemos escrever:
Agora a gente vai comparando as equações, como se tivesse resolvendo um sisteminha. Pela primeira e terceira equação temos que:
Além disso:
Então podemos dizer que:
Passo 3
Mas, esse ponto está no plano, então ele deve satisfazer a equação do plano, certo? Certo!
Então, vamos substituir as coordenadas do ponto na equação do plano:
Resolvendo:
Então:
E:
O nosso ponto é então:
Prontinho!