Qual é o simétrico do ponto P   =   ( 3 ,   7 ,   0 ) em relação ao plano x   +   2 y   -   z   =   5   ?

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem? Temos o ponto:

P   =   ( 3 ,   7 ,   0 )

Queremos saber o simétrico desse ponto em relação ao plano:

x   +   2 y   -   z   =   5  

Na prática o ponto simétrico P ' = a , b ,   c está a uma distância d do plano dado e do lado oposto temos o ponto P a essa mesma distância.

Só organizando as nossas informações, plano é:

x   +   2 y   -   z - 5 =   0

E o vetor normal é:

n → = 1,2 , - 1

Passo 2

A primeira coisa que temos que fazer é tentar encontrar a projeção ortogonal do ponto P   =   3 ,   7 ,   0 em relação ao plano:

x   +   2 y   -   z - 5 =   0

Para isso, vamos considerar que essa projeção é do tipo P ' = a , b ,   c . Então, o vetor saindo de P até P ' deve ter a mesma direção do vetor normal do plano:

n → = 1,2 , - 1

Agora, vamos calcular o outro vetor:

P P ' → = P ' - P

P P ' → = a , b , c   - ( 3 ,   7 ,   0 )

P P ' → = a - 3 , b - 7 , c

Mas P P ' → = k n → já que esse vetor tem que ser múltiplo do vetor normal ao plano. Lembrando que n → = 1,2 , - 1 , podemos escrever:

a - 3 = k

b - 7 = 2 k

c = - k

Agora a gente vai comparando as equações, como se tivesse resolvendo um sisteminha. Pela primeira e terceira equação temos que:

a - 3 = - c

c = - a + 3

Além disso:

b - 7 = - 2 c

b - 7 = 2 a - 3

b = 2 a + 1

Então podemos dizer que:

P ' = a , 2 a + 1 , - a + 3    

Passo 3

Mas, esse ponto está no plano, então ele deve satisfazer a equação do plano, certo? Certo!

Então, vamos substituir as coordenadas do ponto na equação do plano:

x   +   2 y   -   z - 5 =   0

a   +   2 2 a + 1   - - a + 3 - 5 =   0

Resolvendo:

a + 4 a + 2 + a - 3 - 5 = 0

5 a = 6

a = 6 5

Então:

b = 2 a + 1

b = 2 6 5 + 1

b = 17 5

E:

c = - a + 3

c = - 6 5 + 3

c = - 9 5

O nosso ponto é então:

P ' = 6 5 ,   17 5 ,   - 9 5

Prontinho!

Resposta

P ' = 6 5 ,   17 5 ,   - 9 5

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