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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.1 - Ex. 8 a

8. Se x ' y ' z ' o sistema de coordenadas retangulares obtido pela rotação do sistema do sistema retangulares x y z no sentido anti-horário em torno do eixo z (olhando para baixo no eixo z positivo) pelo ângulo θ = π 4 .

(a) Encontre as coordenadas x ' y ' z ' do ponto cujas coordenadas x y z são - 1 ,   2 ,   5 .

(b) Encontre as coordenadas x y z do ponto cujas coordenadas x ' y ' z ' são 1 ,   6 ,   - 3 .

Passo 1

(a) Quando temos um sistema de coordenadas retangulares x y z , e giramos no sentido anti-horário obtemos um novo sistema de coordenadas x ' y ' z ' .

O novo sistema de coordenadas e o antigo estão relacionados por

x ' y ' z ' = P - 1 x y z

Onde

P = cos ⁡ θ - sen ⁡ θ 0 sen ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1

Considerando a definição onde

P T = P - 1

Temos

P - 1 = cos ⁡ θ sen ⁡ θ 0 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1

Passo 2

Calculando o sen ⁡ θ e cos ⁡ θ

sen ⁡ π 4 = 2 2  

cos ⁡ π 4 = 2 2

Passo 3

Retornando para

x ' y ' z ' = P - 1 x y z

Reescrevendo

x ' y ' z ' = cos ⁡ θ sen ⁡ θ 0 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 ∙ x y z

Substituindo os valores temos

x ' y ' z ' = 2 2 2 2 0 - 2 2 2 2 0 0 0 1 ∙ - 1 2 5

Passo 4

Relembrando como realizar a multiplicação entre matrizes: multiplica a linha da primeira matriz pela linha da segunda matriz e soma-os

G = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 e H = b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

G ∙ H = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∙ b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33

= a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 11 + a 32 b 21 + a 33 b 31 a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 a 31 b 13 + a 33 b 23 + a 33 b 33

Passo 5

Calculando:

x ' y ' z ' = 2 2 2 2 0 - 2 2 2 2 0 0 0 1 ∙ - 1 2 5

x ' y ' z ' = 2 2 ∙ - 1 + 2 2 ∙ 2 + 0 ∙ 5 - 2 2 ∙ - 1 + 2 2 ∙ 2 + 0 ∙ 5 0 ∙ - 1 + 0 ∙ 2 + 1 ∙ 5

x ' y ' z ' = - 2 2 + 2 2 2 + 0 2 2 + 2 2 2 + 0 0 + 0 + 5

x ' y ' z ' = 2 2 3 2 2 5

Resposta

x ' y ' z ' = 2 2 3 2 2 5

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