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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.1 - Ex. 5b

Suponha que { V 1 , V 2 , V 3 } é um conjunto linearmente independente de vetores de R n . Responda se { W 1 , W 2 , W 3 } é linearmente dependente ou independente nos seguintes casos:

b) W 1 = V 1 ,   W 2 = V 1 + V 3   e   W 3 = V 1 + V 2 + V 3 ;

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Para resolver esta questão, precisamos encontrar um valor de λ de forma que a seguinte equação tenha solução não-trivial:

x 1 W 1 + x 2 W 2 + x 3 W 3 = 0

Vamos utilizar os dados do enunciado!

Passo 2

Temos que:

x 1 V 1 + x 2 V 1 + V 3 + x 3 V 1 + V 2 + V 3 = 0

Rearranjando os termos temos:

x 1 + x 2 + x 3 V 1 + x 3 V 2 + x 2 + x 3 V 3 = 0

Aqui, a solução trivial é representada quando os coeficientes são nulos! Vamos montar o sistema linear para esta condição e checar se há uma solução não-trivial!

Passo 3

Saca só essa matriz:

M = 1 1 1 0 0 1 0 1 1

Vamos escalonar essa matriz, temos que trocando a ordem da terceira e segunda linhas que:

M = 1 1 1 0 1 1 0 0 1

Subtraindo da primeira linha a segunda, temos:

M = 1 0 0 0 1 1 0 0 1

Subtraindo a terceira linha da segunda, temos que:

M = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Ou seja, a única solução possível é x 1 = x 2 = x 3 = 0 , a solução trivial. Portanto este sistema é L.I. Bora para próxima alternativa!

Resposta

O sistema é linearmente independente (L.I.)

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