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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.1 - Ex. 10

Suponha que { V 1 ,   V 2 ,   . . .   , V n   } é um conjunto de vetores de R n linearmente independente. Mostre que se A é uma matriz não singular, então { A V 1 , A V 2 ,   . . .   , A V n   } também é um conjunto linearmente independente.

Passo 1

Tudo bem, pessoal? Então, sem mais delongas, vamos detonar essa questão!

Como o conjunto { V 1 ,   V 2 ,   . . .   , V n   } é L.I., então a relação

  α 1 V 1 + α 2   V 2   +   ⋯   + α n V n   = 0

só é válida se α 1 = α 2 = ⋯   = α n = 0 . Então, vamos tentar mostrar que o mesmo acontece para { A V 1 , A V 2 ,   . . .   , A V n   } . Primeiro, temos que entender que A V 1 é a multiplicação de uma matriz n × n por uma matriz n × 1 . Sim, um vetor pode ser interpretado como uma matriz n × 1 . Então, A V 1 é uma matriz ( n × n ) ⋅ ( n × 1 ) = ( n × 1 ) . Ou seja, o conjunto { A V 1 , A V 2 ,   . . .   , A V n   } também pertence a R n .

Passo 2

Agora que já esclarecemos algumas coisas, vamos ver se

  α 1 A V 1 + α 2   A V 2   +   ⋯   + α n A V n   = 0

significa que α 1 = α 2 = ⋯   = α n = 0 . Como A é não singular, quer dizer que ela pode ter uma inversa A - 1 . Vamos aplicar essa inversa do lado esquerdo da equação acima:

  A - 1 α 1 A V 1 + α 2   A V 2   +   ⋯   + α n A V n = A - 1 0

  ⇒ α 1 A - 1 A V 1 + α 2   A - 1 A V 2   +   ⋯   + α n A - 1 A V n   = 0

  ⇒ α 1 V 1 + α 2 V 2   +   ⋯   + α n V n   = 0

Nós já sabemos que essa relação só é válida quando α 1 = α 2 = ⋯   = α n = 0 . Logo, { A V 1 , A V 2 ,   . . .   , A V n   } é linearmente independente.

Resposta

Veja a resolução acima.

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Dado um polinômio p ( t ) = ( - 1 ) n ( t n + a n - 1 t n - 1 + ⋯ + a 0 ) Verifique que a matriz ⎜01 0⋯0 ⎜⎜ ⎜ ⎜00 1⋯0 ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⋯ ⋯⋯⋯⋯⎜⎜ ⎜ ⎜00 0⋯1 ⎜⎜ ⎜ ⎜ - a 0- a 1- a 2 ⋯- a n - 1⎜⎜ ⎜é tal que d e t ( A