Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.2 - Ex. 19

Sejam A uma matriz m × n e B uma matriz m × 1 . Seja X 0 uma solução (particular) do sistema linear A X = B . Mostre que se { V 1 , ⋯ ,   V k } é uma base para o espaço solução do sistema homogêneo A X = 0 ̄ , então toda solução de A X = B pode ser escrita na forma

X = X 0 + α 1 V 1 +   ⋯   + α k V k

em que α 1 ,   . . .   ,   α k são escalares. (Sugestão: use o Exercício 1.2.21 na página 66)

Passo 1

Olá, pessoal! Ufa, essa questão não parece nada simples, não é mesmo? É verdade, temos que usar alguns truquezinhos, mas fiquem tranquilos que a gente Responde Aí para vocês. A primeira coisa que vamos fazer é usar o velho truque de escrever X = X 0 + ( X - X 0 ) . Sim, esse é um velho truque. Agora, aplicamos isso em A X = B :

A X = B ⇒ A X 0 + A ( X - X 0 ) = B ⇒ A ( X - X 0 ) = 0

porque A X 0 = B já que X 0 uma solução (particular) do sistema linear A X = B .

Passo 2

Agora você deve tá pensando como A ( X - X 0 ) = 0 ajuda. Bem, { V 1 , ⋯ ,   V k } é uma base para o espaço solução do sistema homogêneo A X = 0 ̄ . Então, já que X - X 0 também é solução desse sistema homogêneo, então podemos escrever X - X 0 como combinação linear de { V 1 , ⋯ ,   V k } :

X - X 0 = α 1 V 1 +   ⋯   +   α k V k

⇒ X = X 0 + α 1 V 1 +   ⋯   + α k V k

E era isso que a gente queria mostrar. Gostou?

Resposta

Veja a resolução acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Seja V = { ( 3 a + 4 b - 4 c ) , 2 a - 4 b - 6 c , - 2 a - 4 b + 2 c ) |a , b , c∈ R } um subespaço de R 3 .b) Determine uma base para V .
Seja W o plano x+2 y+ 4 z = 0 . Obtenha uma base { V 1 , V 2 , V 3 } de R 3 tal que V 1 e V 2 pertençam a W .
Dê exemplo de: a ) Três vetores V 1 , V 2 e V 3 , sendo { V 1 } L.I., { V 2 , V 3 } L. I., V 2 e V 3 não são múltiplos de V 1 e { V 1 , V 2 , V 3 } são L.D.
Sejam W 1 e W 2 dois subespaços.c) Definimos a soma dos subespaços W 1 e W 2 por W 1 + W 2 = { V 1 + V 2 | V 1 ∈ W 1 eV 2 ∈ W 2 } Mostre que W 1 + W 2 é um subespaço que contém W 1 e W 2 .
Defina a matriz aleatória A = t r i u ( r a n d i ( 4,4 , 3 ) ) . Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo ( A - λ I 4 ) X = 0 ̄ tem solução não-trivial e para estes valores de λ , encont