Sejam A uma matriz m × n e B uma matriz m × 1 . Seja X 0 uma solução (particular) do sistema linear A X = B . Mostre que se { V 1 , ⋯ ,V k } é uma base para o espaço solução do sistema homogêneo A X = 0 ̄ , então toda solução de A X = B pode ser escrita na forma X = X 0 + α 1 V 1 +⋯+ α k V k em que α 1 ,. . .,α k são escalares. (Sugestão: use o Exercício 1.2.21 na página 66)

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.2 - Ex. 19

Sejam uma matriz e uma matriz . Seja uma solução (particular) do sistema linear . Mostre que se é uma base para o espaço solução do sistema homogêneo , então toda solução de pode ser escrita na forma

em que são escalares. (Sugestão: use o Exercício 1.2.21 na página 66)

Passo 1

Olá, pessoal! Ufa, essa questão não parece nada simples, não é mesmo? É verdade, temos que usar alguns truquezinhos, mas fiquem tranquilos que a gente Responde Aí para vocês. A primeira coisa que vamos fazer é usar o velho truque de escrever . Sim, esse é um velho truque. Agora, aplicamos isso em :

porque já que uma solução (particular) do sistema linear .

Passo 2

Agora você deve tá pensando como ajuda. Bem, é uma base para o espaço solução do sistema homogêneo . Então, já que também é solução desse sistema homogêneo, então podemos escrever como combinação linear de :

E era isso que a gente queria mostrar. Gostou?

Resposta

Veja a resolução acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Seja V = { ( 3 a + 4 b - 4 c ) , 2 a - 4 b - 6 c , - 2 a - 4 b + 2 c ) |a , b , c∈ R } um subespaço de R 3 .b) Determine uma base para V .

Seja W o plano x+2 y+ 4 z = 0 . Obtenha uma base { V 1 , V 2 , V 3 } de R 3 tal que V 1 e V 2 pertençam a W .

Dê exemplo de: a ) Três vetores V 1 , V 2 e V 3 , sendo { V 1 } L.I., { V 2 , V 3 } L. I., V 2 e V 3 não são múltiplos de V 1 e { V 1 , V 2 , V 3 } são L.D.

Sejam W 1 e W 2 dois subespaços.c) Definimos a soma dos subespaços W 1 e W 2 por W 1 + W 2 = { V 1 + V 2 | V 1 ∈ W 1 eV 2 ∈ W 2 } Mostre que W 1 + W 2 é um subespaço que contém W 1 e W 2 .

Defina a matriz aleatória A = t r i u ( r a n d i ( 4,4 , 3 ) ) . Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo ( A - λ I 4 ) X = 0 ̄ tem solução não-trivial e para estes valores de λ , encont