Sejam A uma matriz m × n e B uma matriz m × 1 . Seja X 0 uma solução (particular) do sistema linear A X = B . Mostre que se { V 1 , ⋯ ,   V k } é uma base para o espaço solução do sistema homogêneo A X = 0 ̄ , então toda solução de A X = B pode ser escrita na forma

X = X 0 + α 1 V 1 +   ⋯   + α k V k

em que α 1 ,   . . .   ,   α k são escalares. (Sugestão: use o Exercício 1.2.21 na página 66)

Passo 1

Olá, pessoal! Ufa, essa questão não parece nada simples, não é mesmo? É verdade, temos que usar alguns truquezinhos, mas fiquem tranquilos que a gente Responde Aí para vocês. A primeira coisa que vamos fazer é usar o velho truque de escrever X = X 0 + ( X - X 0 ) . Sim, esse é um velho truque. Agora, aplicamos isso em A X = B :

A X = B ⇒ A X 0 + A ( X - X 0 ) = B ⇒ A ( X - X 0 ) = 0

porque A X 0 = B já que X 0 uma solução (particular) do sistema linear A X = B .

Passo 2

Agora você deve tá pensando como A ( X - X 0 ) = 0 ajuda. Bem, { V 1 , ⋯ ,   V k } é uma base para o espaço solução do sistema homogêneo A X = 0 ̄ . Então, já que X - X 0 também é solução desse sistema homogêneo, então podemos escrever X - X 0 como combinação linear de { V 1 , ⋯ ,   V k } :

X - X 0 = α 1 V 1 +   ⋯   +   α k V k

⇒ X = X 0 + α 1 V 1 +   ⋯   + α k V k

E era isso que a gente queria mostrar. Gostou?

Resposta

Veja a resolução acima.

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