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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.1 - Ex. 18a

Seja A uma matriz n × n .

(a)Mostre que o determinante de A é o produto de todas as raízes do polinômio característico de A ; (Sugestão: p ( t ) =   d e t ( A - t I n ) = ( - 1 ) n ( t - λ 1 ) ⋯ ( t - λ n ) .)

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo bem com vocês? Que ótimo!

(a)Nesse primeiro item, temos que tentar obter d e t   A da expressão   d e t ( A - t I n ) = ( - 1 ) n ( t - λ 1 ) ⋯ ( t - λ n ) . De preferência, queremos mostrar que d e t   A = λ 1 ⋯ λ n . Vamos começar devagarinho, para n = 2 , a matriz A é:

⎜   a 11                 a 12     ⎜

⎜   a 21                 a 22     ⎜

Então,

A - t I 2 =

⎜   a 11 - t                       a 12             ⎜

⎜             a 21                     a 22 - t     ⎜

Passo 2

Assim,

d e t ( A - t I 2 ) = ( a 11 - t ) ( a 22 - t ) - a 21 a 12

⇒ d e t ( A - t I 2 ) = a 11 a 22 - a 21 a 12 - t ( a 11 + a 22 ) + t 2

⇒ d e t ( A - t I 2 ) = d e t     A - t ⋅ t r a ç o   A + t 2

onde d e t   A = a 11 a 22 - a 21 a 12 e t r a ç o   A = a 11 + a 22 é a soma dos elementos da diagonal. Por outro lado,

  d e t ( A - t I 2 ) = ( - 1 ) 2 ( t - λ 1 ) ( t - λ 2 ) = t 2 - ( λ 1 + λ 2 ) t + λ 1 λ 2

Agora, nós podemos comparar as duas expressões. Mas se liga, só podemos comparar t 2 com t 2 , t com t e assim por diante. Então

λ 1 + λ 2 = a 11 + a 22

e

λ 1 λ 2 = a 11 a 22 - a 21 a 12 = d e t   A .

Opa, olha só o que encontramos: o determinante da matriz é igual a multiplicação dos autovalores. Muito legal, só que agora temos que mostrar para um n qualquer. Então, se liga no próximo passo.

Passo 3

Seguindo a ideia de n = 2 , podemos encontrar algo do tipo

d e t ( A - t I n ) = d e t     A - α 1 t + α 2 t 2 + ⋯ + t r a ç o   A ⋅ t n - 1 + ( - 1 ) n t n

Não precisamos nos preocupar com os coeficientes α e já já vai dar pra entender o porquê. A ideia aqui é entender que vamos ter t n sozinho (tem só ( - 1 ) n acompanhando), t r a ç o   A como coeficiente de t , d e t     A como coeficiente de t 0 e os demais termos não são importantes agora. Por outro lado,

d e t ( A - t I n ) = ( - 1 ) n ( t - λ 1 ) ⋯ ( t - λ n )

d e t ( A - t I n ) = ( - 1 ) n [ t n + ( - λ 1 - ⋯ - λ n ) t n - 1 + ⋯ + β 1 t 1 + ( - 1 ) n ( λ 1 ⋯ λ n ) ]

Comparando as duas expressões, vemos que

d e t     A = ( - 1 ) n ( - 1 ) n ( λ 1 ⋯ λ n ) = λ 1 ⋯ λ n

E chegamos ao nosso resultado. Espero que tenha gostado e te vejo no próximo desafio.

Resposta

Veja a resolução acima.

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