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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.Exercícios Suplementares - Ex. 26

Suponha que { v 1 ,   v 2 ,   v 3 } e { w 1 ,   w 2 } sejam dois conjuntos de vetores tais que v i e w j são ortogonais, com quaisquer i e j . Prove que se a 1 ,   a 2 ,   a 3 ,   b 1 ,   b 2 são escalares quaisquer, então os vetores v   =   a 1 v 1 +   a 2 v 2 +   a 3 v 3 e w =   b 1 w 1 +   b 2 w 2 são ortogonais.

Passo 1

Primeiro temos que lembrar que se dois vetores são ortogonais logo:

v ⋅ w = 0

E também:

v i ⋅ w j = 0

Assim:

v ⋅ w = a 1 v 1 +   a 2 v 2 +   a 3 v 3 ⋅ ( b 1 w 1 +   b 2 w 2 )

Fazendo o produto escalar:

a 1 b 1 ( v 1 ⋅ w 1 ) + a 1 b 2 ( v 1 ⋅ w 2 ) + a 2 b 1 ( v 2 ⋅ w 1 ) + a 2 b 2 ( v 2 ⋅ w 2 ) + a 3 b 1 ( v 3 ⋅ w 1 ) + a 3 b 2 ( v 3 ⋅ w 2 ) = v ⋅ w

Como v i ⋅ w j = 0 , independente do termo então:

a 1 b 1 ⋅ 0 + a 1 b 2 ⋅ 0 + a 2 b 1 ⋅ 0 + a 2 b 2 ⋅ 0 + a 3 b 1 ⋅ 0 + a 3 b 2 ⋅ 0 = v ⋅ w

Logo:

v ⋅ w = 0

Assim temos v e w são ortogonais

Até a próxima! =D

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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