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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 4

4. Quais dos seguintes conjuntos de vetores em P 2 são linearmente dependentes?

(a) 2 - x + 4 x 2 ,   3 + 6 x + 2 x 2   ,   2 + 10 x - 4 x 2

(b) 3 + x + x 2 ,     2 - x + 5 x 2 ,     4 - 3 x 2

(c) 6 - x 2 ,   1 + x + 4 x 2

(d) 1 + 3 x + 3 x 2 ,     x + 4 x 2 ,     5 + 6 x + 3 x 2 ,     7 + 2 x - x 2

Passo 1

Para resolvermos nosso problema, vamos analisar cada alternativa e seu conjunto de vetores.

(a) 2 - x + 4 x 2 ,   3 + 6 x + 2 x 2   ,   2 + 10 x - 4 x 2

Vamos chamar de S o conjunto composto por nossos vetores, logo podemos observar que:

k 1 p 1 → + k 2 p 2 → + k 3 p 3 → = 0  

k 1   2 - x + 4 x 2 + k 2 3 + 6 x + 2 x 2   + k 3 2 + 10 x - 4 x 2 = 0

2 k 1 + 3 k 2 + 2 k 3 + - k 1 + 6 k 2 + 10 k 3 x + 4 k 1 + 2 k 2 - 4 k 3 x 2 = 0

Montando o sistema:

2 k 1 + 3 k 2 + 2 k 3 = 0 - k 1 + 6 k 2 + 10 k 3 = 0 4 k 1 + 2 k 2 - 4 k 3 = 0

Escrevendo de forma matricial:

      2 3     2 - 1 6   10       4 2 - 4 × k 1 k 2 k 3 = 0 0 0

Agora vamos calcular o determinante da matriz de coeficientes determinar algo sobre a linearidade do conjunto.

Vamos usar expansão de cofatores ao longa da primeira linha para calcular o determinante:

det ⁡ A =       2 3     2 - 1 6   10       4 2 - 4 = a 31 C 31 + a 32 C 32 + a 33 C 33 = 2 C 31 + 3 C 32 + 2 C 33

Calculando os cofatores:

C 11 = - 1 1 + 1   M 11 = 1 × 6 10 2 - 4 = 6 × - 4 - 10 × 2 = - 24 - 20 = - 44

C 12 = - 1 1 + 2   M 12 = - 1 × - 1 10       4 - 4 = - - 1 × - 4 - 10 × 4 = - 4 - 40 = 36

C 13 = - 1 1 + 3   M 13 = 1 × - 1 6       4 2 = - 1 × 2 - 6 × 4 = - 2 - 24 = - 26

Logo:

det ⁡ A = 2 C 31 + 3 C 32 + 2 C 33

= 2 ⋅ - 44 + 3 ⋅ 36 + 2 - 26 = - 88 + 108 - 52 = - 32

Assim como o d e t ⁡ ( A ) ≠ 0 podemos concluir que o conjunto é linearmente independente.

Passo 2

(b) 3 + x + x 2 ,     2 - x + 5 x 2 ,     4 - 3 x 2

Vamos chamar de S o conjunto composto por nossos vetores, logo podemos observar que:

k 1 p 1 → + k 2 p 2 → + k 3 p 3 → = 0  

k 1 3 + x + x 2 + k 2     2 - x + 5 x 2 + k 3   4 - 3 x 2 = 0

3 k 1 + 2 k 2 + 4 k 3 + k 1 - k 2 x + k 1 + 5 k 2 - 3 k 3 x 2 = 0

Montando o sistema:

3 k 1 + 2 k 2 + 4 k 3 = 0 k 1 - k 2 = 0 k 1 + 5 k 2 - 3 k 3 = 0

Resolvendo o sistema, da segunda equação temos :

k 1 - k 2 = 0 → k 1 = k 2

Substituindo k 1 na primeira equação temos:

3 k 2 + 2 k 2 + 4 k 3 = 0 → 5 k 2 + 4 k 3 = 0

4 k 3 = - 5 k 2 → k 3 = - 5 4 k 2

Substituindo k 1 e k 3 na terceira equação temos:

k 2 + 5 k 2 - 3 - 5 4 k 2 = 0

6 k 2 - 15 4 k 2 = 0 → k 2 = 0

Logo o sistema vai ter apenas a solução trivial:

k 1 = k 2 = k 3 = 0

Pois não conseguimos expressar nenhum vetor desse conjunto como combinação linear dos outros. Logo o conjunto S é um conjunto linearmente independente.

Passo 3

(c) 6 - x 2 ,   1 + x + 4 x 2

Vamos chamar de S o conjunto composto por nossos vetores, logo podemos observar que:

k 1 p 1 → + k 2 p 2 → = 0  

k 1 6 - x 2 + k 2   1 + x + 4 x 2 = 0

6 k 1 + k 2 + k 2 x + - k 1 + 4 k 2 x 2 = 0

Montando o sistema:

6 k 1 + k 2 = 0 k 2 = 0 - k 1 + 4 k 2 = 0

Resolvendo o sistema, da primeira equação temos:

6 k 1 + k 2 = 0 → 6 k 1 = - k 2

Da segunda equação:

k 2 = 0

Logo o sistema vai ter apenas a solução trivial:

k 1 = k 2 = 0

Pois não conseguimos expressar nenhum vetor desse conjunto como combinação linear do outro. Logo o conjunto S é um conjunto linearmente independente.

Passo 4

(d) 1 + 3 x + 3 x 2 ,     x + 4 x 2 ,     5 + 6 x + 3 x 2 ,     7 + 2 x - x 2

Vamos chamar de S o conjunto composto por nossos vetores, logo podemos observar que:

k 1 p 1 → + k 2 p 2 → + k 3 p 3 → + k 4 p 4 → = 0  

k 1   1 + 3 x + 3 x 2 + k 2     x + 4 x 2 + k 3 5 + 6 x + 3 x 2 + k 4 ( 7 + 2 x - x 2 ) = 0

k 1 + 5 k 3 + 7 k 4 + 3 k 1 + k 2 + 6 k 3 + 2 k 4 x + 3 k 1 + 4 k 2 + 3 k 3 - k 4 x 2 = 0

Montando o sistema:

k 1 + 5 k 3 + 7 k 4 = 0 3 k 1 + k 2 + 6 k 3 + 2 k 4 = 0 3 k 1 + 4 k 2 + 3 k 3 - k 4 = 0

Nesse caso podemos resolver de maneira bem rápida utilizando o Teorema 4.3.3, pois temos 4 variáveis e 3 equações.

logo r = 4 e n = 3 . Como r > n , podemos concluir que o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

Apenas o conjunto da alternativa (d) é linearmente dependente

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