Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 5

5. Suponha que   v 1 → , v 2 → e v 3 → sejam vetores em R 3 com pontos iniciais na origem. Em cada parte, determine se os vetores estão num mesmo plano.

(a) v 1 → = 2 ,   - 2 ,   0 ,   v 2 → = 6,1 , 4 ,   v 3 → = ( 2 ,   0 , - 4 )

(b) v 1 → = - 6 ,   7 ,   2 ,   v 2 → = 3 , 2 , 4 ,   v 3 → = ( 4 ,   - 1 , 2 )

Passo 1

Para sabermos se um vetor está no mesmo plano, ou seja coplanares, basta calcular o determinante da matriz onde suas linhas são formadas pelas componentes de cada vetor, e analisar seu resultado, se det ⁡ A = 0 , os vetores são coplanares, veja só:

(a) v 1 → = 2 ,   - 2 ,   0 ,   v 2 → = 6,1 , 4 ,   v 3 → = ( 2 ,   0 , - 4 )

A = 2 - 2       0 6       1       4 2       0 - 4

Vamos calcular o determinante dessa matriz usando expansão de cofatores ao longo da primeira linha:

det ⁡ A = a 1 1 C 1 1 + a 1 2 C 1 2 + a 13 C 13 = 2 C 11 - 2 C 12 + 0 C 13

det ⁡ A = 2 C 11 - 2 C 12

Calculando os cofatores:

C 1 1 = - 1 1 + 1   M 1 1 = 1 × 1       4 0 - 4 = 1 × - 4 - 4 × 0 = - 4 - 0 = - 4

C 1 2 = - 1 1 + 2   M 1 2 = - 1 × 6       4 2 - 4 = - 6 × - 4 - 4 × 2 = - - 24 - 8 = 32

Logo:

det ⁡ A = 2 C 11 - 2 C 12

det ⁡ A = 2 ⋅ - 4 - 2 ⋅ 32 = - 8 - 64 = - 72

Logo como d e t ⁡ ( A ) ≠ 0 , os vetores não são coplanares.

Passo 2

Vamos fazer o mesmo procedimentos para os seguintes vetores:

(b) v 1 → = - 6 ,   7 ,   2 ,   v 2 → = 3,2 , 4 ,   v 3 → = ( 4 ,   - 1,2 )

A = - 6       7       2       3       2       4       4 - 1       2

Vamos calcular o determinante dessa matriz usando expansão de cofatores ao longo da primeira linha:

det ⁡ A = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 = - 6 C 11 + 7 C 12 + 2 C 13

Calculando os cofatores:

C 11 = - 1 1 + 1   M 1 1 = 1 ×       2       4 - 1       2 = 2 × 2 - 4 × - 1 = 4 - ( - 4 ) = 8

C 12 = - 1 1 + 2   M 12 = - 1 × 3 4 4 2 = - 3 × 2 - 4 × 4 = - 6 - 16 = 10

C 1 3 = - 1 1 + 3   M 1 3 = 1 × 3       2 4 - 1 = 3 × - 1 - 2 × 4 = - 3 - 8 = - 11

Logo:

det ⁡ A = - 6 C 11 + 7 C 12 + 2 C 13

det ⁡ A = - 6 ⋅ 8 + 7 ⋅ 10 + 2 ⋅ - 11 = - 48 + 70 - 22 = 0

Logo como det ⁡ A = 0 , os vetores são coplanares.

Resposta

(a) não são coplanares.

(b) são coplanares.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Explique por que a proposição anterior é válida também para n ≥ 4 .
Prove: ( u → ,v → ) é LI ⇔ ( u → + v → ,u → - v → ) é LI.
Prove, utilizando a Proposição 6-5, que ( a → ,b → ,c → ) é LD, quaisquer que sejam u → , v → e w → .a) a → = 2 u → + 4 v → + w →b → = - u → + v → 2 + 3 w → 4c → = v → + w → 2 b) a → = u → + 2 v → - w
A sequência ( u → ,v → ,w → ) é LD. Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações seguintes (justifique sua resposta).a) Necessariamente, um dos vetores é nulo.b) Se u → ≠ 0 , então v → | | w →
Sejam u → = P A → ,v → = P B → ,w → = P C → . Prove:a) P ,A ,B e C são coplanares ⇔ ( u → , v → ,w → ) é LD.b) P ,A e B são colineares ⇔ ( u → ,v → ) é LD.