Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 12

12. Em cada parte, verifique a validade da desigualdade de Cauchy-Schwarz para os vetores dados.

(a) e , usando o produto interno do Exemplo 1 da Seção 6.1.

(b) e , usando o produto interno do Exemplo 6 da Seção 6.1.

(c) e , usando o produto interno dado no Exemplo 7 da Seção 6.1.

Passo 1

Lembrando que a desigualdade de Cauchy-Schwarz é:

(a) o produto interno:

Com e :

Calculando a norma de :

Calculando a norma de :

Verificando a desigualdade:

Como é maior que , então não vale a desigualdade.

Passo 2

(b) o produto interno:

e :

Calculando a norma de :

Calculando a norma de :

Verificando a desigualdade:

(Aqui a minha dica, quando ta feio assim... é elevar os dois lados ao quadrado e ver quem é maior e tals.... é e é 798...)

Como 20 é menor que , então vale a desiguladade.

Passo 3

(c) o produto interno:

Com e : (lembrando como não tem o termo de x no q, então podemos reescrever assim: )

Calculando a norma de :

Calculando a norma de :

Verificando a desiguladade:

( e é 120)

Como 6 é menor que , então vale a desiguladade.

Resposta

(a) não vale

(b) vale

(c) vale

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