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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.12 - Ex. 23

Prove que o produto de duas matrizes estocásticas é uma matriz estocástica. [Sugestão: escreva cada coluna do produto como uma combinação linear das colunas do primeiro fator.]

Passo 1

Vamos tomar duas matrizes, A = a i j   e   B = b i j de dimensões n × n , estocásticas onde

∑ j = 1 n a i j = ∑ j = 1 n b i j = 1

Agora tomemos a matriz de multiplicação A B fazendo

∑ j = 1 n A ⋅ B i j = ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n a i k ⋅ b k j

→ ∑ j = 1 n a i 1 ⋅ b 1 j + … + a i n ⋅ b n j = a i 1 ⋅ b 11 + b 12 + … + b 1 n + … + a i n ⋅ b n 1 + … + b n n

→ a i 1 + … + a i n = 1

Sendo assim, podemos concluir que

∑ j = 1 n A ⋅ B i j = 1

Ou seja, provamos que o produto entre duas matrizes estocásticas é, também, uma matriz estocástica.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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Use a sugestão do Exercício 20 para provar as partes ( b ) e ( c ) do Teorema 4.11.3 .
Em R 3 , o cisalhamento de fator k na direção x y é a transformação matricial que aplica cada ponto ( x ,y ,z ) paralelamente ao plano x y no novo ponto ( x+k z ,y+k z ,z ) .Encontre a matriz canônica
Em cada parte, encontre a matriz que faz a rotação de cada ponto ( x ,y ) em torno da origem por: 45 ° (b) 90 ° (c) 180 ° (d) 270° (e) - 30 °
Em cada parte, expresse a matriz como um produto de matrizes elementares e descreva o efeito da multiplicação por A em termos de compressões, expansões, reflexões e cisalhamentos. A = 2 0 0 3 A = 1 4
Em cada parte, encontre uma única matriz 2×2 que efetue a sucessão de operações indicadas.A compressão de fator 1 2 na direção x seguida da expansão de fator 5 na direção y .A expansão de fator 5 na d