Prove que o produto de duas matrizes estocásticas é uma matriz estocástica. [Sugestão: escreva cada coluna do produto como uma combinação linear das colunas do primeiro fator.]

Passo 1

Vamos tomar duas matrizes, A = a i j   e   B = b i j de dimensões n × n , estocásticas onde

∑ j = 1 n a i j = ∑ j = 1 n b i j = 1

Agora tomemos a matriz de multiplicação A B fazendo

∑ j = 1 n A ⋅ B i j = ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n a i k ⋅ b k j

→ ∑ j = 1 n a i 1 ⋅ b 1 j + … + a i n ⋅ b n j = a i 1 ⋅ b 11 + b 12 + … + b 1 n + … + a i n ⋅ b n 1 + … + b n n

→ a i 1 + … + a i n = 1

Sendo assim, podemos concluir que

∑ j = 1 n A ⋅ B i j = 1

Ou seja, provamos que o produto entre duas matrizes estocásticas é, também, uma matriz estocástica.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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