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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.2 - Ex. 1

Transformar a equação em coordenadas retangulares em uma equação em coordenadas polares:

  1. x 2 + y 2 = 4
  2. x 2 - y 2 = 4
  3. x 2 + y 2 - 2 y = 0
  4. x 2 - 4 y - 4 = 0

Passo 1

E aí, tudo joia?

Vamos lembrar que:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ

x 2 + y 2 = r 2

Vamos substituir isso nas equações e arrumar direitinho...

  1. x 2 + y 2 = 4

    2. r 2 = 4

    r = 2

    Essa é só isso!

    Passo 2

    Bora pra próxima:

  2. x 2 - y 2 = 4

    r c o s θ 2 - r s e n   θ 2 = 4

    r 2 cos 2 ⁡ θ - r 2 sen 2 ⁡ θ = 4

    r 2 cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ = 4

    Pela identidade trigonométrica:

    cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ = cos ⁡ 2 θ

    r 2 cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ = 4

    r 2 cos ⁡ 2 θ = 4

    Pronto, podemos deixar assim!

    Passo 3

  3. x 2 + y 2 ⏟ r 2 - 2 y = 0

    r 2 - 2 r s e n   θ = 0

    r ( r - 2 sen ⁡ θ ) = 0

    r = 0   ( n ã o   p o d e )

    r - 2 sen ⁡ θ = 0

    r = 2 sen ⁡ θ

    Mais uma!

    Passo 4

    E por último...

  4. x 2 - 4 y - 4 = 0

r 2 cos 2 ⁡ θ - 4 r sen ⁡ θ - 4 = 0  

r r cos ⁡ θ - 4 sen ⁡ θ = 4

Aqui não tem como a gente simplificar, então a resposta é essa aí mesmo!

Resposta

  1. r = 2
  2. r 2 cos ⁡ 2 θ = 4
  3. r = 2 sen ⁡ θ
  4. r r cos ⁡ θ - 4 sen ⁡ θ = 4

Exercícios de Livros Relacionados

Descreva as regiões a seguir usando coordenadas polares:
Determine o raio e as coordenadas polares do centro da circunferência cuja equação em coordenadas polares é dada: r = 4 cos ⁡ θ r = - 3 sen ⁡ θ r = 3 2 cos ⁡ θ r = - 4 3 sen ⁡ θ
Transformar a equação em coordenadas polares em uma equação em coordenadas retangulares: r = 2 1 - 3 cos ⁡ θ r = 4 sen ⁡ θ r = 9 cos ⁡ θ r = 3 2 + sen ⁡ θ r = tg ⁡ θ r acos ⁡ θ + b sen ⁡ θ - c = 0
Se o centro de uma circunferência que passa pelo polo é (a, α), mostre que sua equação em coordenadas polares é r = 2a cos(θ − α).
Se a cônica de equação r = d e 1 - e c o s θ representa uma parábola, determine as coordenadas polares do seu vértice e a equação em coordenadas polares da reta diretriz.