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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.2 - Ex. 4

Determine o raio e as coordenadas polares do centro da circunferência cuja equação em coordenadas polares é dada:

  1. r = 4 cos ⁡ θ
  2. r = - 3 sen ⁡ θ
  3. r = 3 2 cos ⁡ θ
  4. r = - 4 3 sen ⁡ θ

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos jogar essas equações para cartesianas para ficar mais fácil de visualizar:

r = x 2 + y 2 ;   sen ⁡ θ = y x 2 + y 2 ; cos ⁡ θ = x x 2 + y 2

  1. r = 4 cos ⁡ θ

    2. x 2 + y 2 = 4 x x 2 + y 2

    x 2 + y 2 = 4 x

    x 2 - 4 x + 4 - 4 + y 2 = 0

    x - 2 2 + y 2 = 4

    Daqui vemos que o raio é 2 e o centro é ( 2,0 ) . Transformando em coordenadas polares:

    r = 2 2 + 0 2 = 2

    sen ⁡ θ = 0 ;   cos ⁡ θ = 1 → θ = 0

    Então o centro é dado por ( 2,0 ) .

    Passo 2

  2. r = - 3 sen ⁡ θ

    3. x 2 + y 2 =   - 3 y x 2 + y 2

    x 2 + y 2 = - 3 y

    x 2 + y 2 + 3 y = 0

    Completando o quadrado:

    x 2 + y 2 + 3 y + 9 4 - 9 4 = 0

    x 2 + y + 3 2 2 = 9 4

    O raio então mede 3 2 . O centro em coordenadas cartesianas é 0 , - 3 2 . Passando para polares:

    sen ⁡ θ =   - 3 2 3 2 =   - 1

    cos ⁡ θ = 0

    θ = - π 2

    Então: C = 3 2 ,   - π 2 .

    Passo 3

    Bora pro próximo:

  3. r = 3 2 cos ⁡ θ

    4. x 2 + y 2 = 3 2 x x 2 + y 2

    2 x 2 + 2 y 2 = 3 x

    2 x 2 - 3 x + 2 y 2 = 0

    Completando o quadrado:

    2 x - 3 4 2 + 2 y 2 = 9 8

    x - 3 4 2 + y 2 = 9 16

    Daí vemos que o raio é 3 4 , e o centro dado em coordenadas cartesianas é: 3 4 , 0 .

    Vamos jogar isso pra coordenas polares:

    sen ⁡ θ = 0

    cos ⁡ θ = 3 4 3 4 = 1

    θ = 0

    Então: C = 3 4 , 0 .

    Passo 4

    E por último...

  4. r = - 4 3 sen ⁡ θ

x 2 + y 2 =   - 4 3 y x 2 + y 2

3 x 2 + 3 y 2 = - 4 y

3 x 2 + 3 y 2 + 4 y = 0

Completando o quadrado:

3 x 2 + 3 y + 2 3 2 = 4 3

x 2 + y + 2 3 2 = 4 9

Então aqui temos um raio medindo 2 3 e um centro 0 , - 2 3 em coordenadas cartesianas. Passando para coordenadas polares:

sen ⁡ θ =   - 2 3 2 3 = - 1

cos ⁡ θ = 0

θ =   - π 2

Ou seja: C = 2 3 ,   - π 2 .

Resposta

  1. r = 2 ,   C = 2,0
  2. r = 3 2 ,   C = 3 2 ,   - π 2
  3. r = 3 4 ,   C = 3 4 , 0
  4. r = 2 3 ,   C = 2 3 ,   - π 2

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