Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 6.Exercícios Propostos - Ex. 29
São dadas as retas:
e
- Mostre que e encontram-se num ponto .
- Dê equações da reta , que passa por e é perpendicular a e a .
Passo 1
Fala, galera! Tudo tranquilo? Então vamos lá para mais uma questão:
- Para mostrar que e encontram-se num ponto temos que igualar as equações paramétricas das duas retas e mostrar que existem valores possíveis dos parâmetros e :
- Como passa por , sabemos que sua equação paramétrica será dada por:
Podemos subtrair a primeira equação da segunda:
Agora, substituímos na primeira equação:
Para checar se essa solução está ok, vamos substituir na terceira equação:
Então, vemos que de fato as duas retas e encontram-se num ponto . Esse ponto é dado fazendo na reta ou na reta . Usando a primeira opção, ficamos com
Assim, o ponto de encontro das duas retas é .
Passo 2
Nesse caso, a reta coincide com quando . Como a reta é perpendicular a e a , então o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetores diretores de e . Temos
Usando a condição de ortogonalidade, obtemos
Substituindo na segunda equação, obtemos
Assim, a reta se torna:
Não temos mais nenhuma condição restringindo o valor de , então podemos escolher sem nenhum problema. Assim, ficamos com