Enunciado

Sejam A, B, C, D pontos não-coplanares. Descreva um método geométrico (isto é, sem uso de coordenadas) que permita escrever, para qualquer ponto P, o vetor A P → como combinação linear dos vetores u = A B → , v = A C → e w = A D → .

Passo 1

Se existem mais de três vetores no espaço ( R 3 ) , então eles sempre são linearmente dependentes, isso é definição.

Para o vetor A P → ser combinação linear dos vetores u,v e w, ele precisa ser uma reta de mesma distância dos vetores que passar por diferentes planos formando um tetraedro, já que u,v e w não são coplanares e por isso são LI.

Resposta

Demonstração

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No tetraedro A B C D , sejam M , N e P , respectivamente, os pontos médios de B D ,C D e A C , e G o baricentro do triângulo M N P .a) Exprima B G → como combinação linear de B A → ,B C → ,B D → .
Suponha que ( u → ,v → ,w → ) seja LI. Dado t → , existem α ,β e γ tais que t → = α u → + β v → + γ w → (Proposição 6-8). Prove: ( u → + t → ,v → + t → ,w → + t → ) é LI ⇔ α + β + γ + 1 ≠ 0 .
Em cada caso, é descrita uma alteração efetuada na tripla LI ( u → ,v → ,w → ) . Baseando-se na sua intuição, dê um palpite: a sequência obtida após a alteração é também LI? Em seguida, tente provar q
10. Mostre que se { v 1 → , v 2 → , v 3 →} for um conjunto linearmente independente de vetores, então também o são { v 1 → , v 2 → } , { v 1 → , v 3 →} , { v 2 → , v 3 → } , { v 1 → } , { v 2 → } e {
22. As funções f 1 x = sen ⁡ x e f 2 x = cos ⁡ x são linearmente independentes em F ( - ∞ , ∞ ) porque nenhuma das duas é um múltiplo escalar da outra. Confirme a independência linear usando o teste d