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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 5.Exercícios Propostos - Ex. 10

Quais dentre as expressões abaixo não têm sentido? Justifique.

  1. x → ,   y → ,   z → v → 1 ^ v → 2
  2. v → 1 ^ v → 2 ^ v → 3 ⋅ v → 4
  3. v → 1 ⊥ v → 2 , v → 3 ,   v → 4
  4. 1 x → ,   y → ,   z → v → ; x → ,   y → ,   z →   l . i .
  5. a → ^ b → a → ⋅ b →   ,   a → ⋅ b → ≠ 0
  6. a → ⋅ b → a → ^ b → ,   a → ^ b → ≠ 0

Passo 1

E aí pessoal, beleza?

Nessa questão temos que analisar item por item, bora lá?

  1. x → ,   y → ,   z → v → 1 ^ v → 2

    2. Aqui temos um produto misto que o resultado é um número sendo multiplicado por um produtor vetorial entre dois vetores, que é outro vetor. Portanto, temos um número sendo multiplicado por um vetor, o que faz sentido.

  2. v → 1 ^ v → 2 ^ v → 3 ⋅ v → 4

    3. Nesse item vamos analisar o parêntese primeiro. Temos um produto vetorial entre dois vetores, o que resulta em outro vetor. Daí termos a multiplicação deste vetor por outro vetor, o que gera um número. Por fim, temos um produtor vetorial do vetor v → 1 por um número, o que não faz sentido.

  3. v → 1 ⊥ v → 2 , v → 3 ,   v → 4

    4. Esse item afirma que um vetor é perpendicular a um número, o que não faz sentido.

    Passo 2

  4. 1 x → ,   y → ,   z → v → ; x → ,   y → ,   z →   l . i .

    5. Agora temos o produto escalar entre o inverso de um produtor misto e outro vetor. Como os 3 vetores do produto misto são l.i. o produto não resulta em zero, daí teremos um produto escalar um número e um vetor, o que faz sentido.

  5. a → ^ b → a → ⋅ b →   ,   a → ⋅ b → ≠ 0

    6. Como o produto escalar é diferente do zero, não há indeterminação matemática na expressão. Além disso, a → ^ b → é um vetor e a → ⋅ b → é um número, então essa operação faz sentido.

  6. a → ⋅ b → a → ^ b → ,   a → ^ b → ≠ 0

Essa afirmação não tem sentido pois temos um número dividido por um vetor.

Fechou! Vamos pra próxima?

Resposta

b, c e f.

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Prove que:(a) [vec u ^^ vec v , vec a ^^ vec b , vec x ^^ vec y] = |[[[,vec u,,,vec a,,,vec b,],[,vec u,,,vec x,,,vec y,]],[[,vec v,,,,vec a,,,vec b,],[,vec v,,,vec x,,,vec y,]]]|
Seja E uma base ortonormal positiva.(b) Sejam u → ,v → ,w → ,x → ,y →ez → vetores quaisquer. Mostre que u → ,v → ,w → x → ,y → ,z → = u → . x → u → . y → u → . z → v → . x → v → . y → v → . z → w → .
Sejam ( a → ,b → ,c → ) uma base positiva, u → = a → ∧ b → ,v → = ( a → + b → ) ∧ c → e w → = ( b → ∧ a → ) ∧ a → .(a) Mostre que u → ,v → , w → é base e determine sua orientação.